Geometrie und Algorithmik von periodischen Punktmengen

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Gitter und allgemeiner periodische Punktmengen sind allgegenwärtige Objekte in der Mathematik und ihren Anwendungen. Häufig werden sie als diskrete Modelle für kompliziertere geometrische Räume verwendet. Ziel unseres Forschungsvorhabens ist es, das Zusammenspiel zwischen periodischen Punktmengen und umliegenden Räumen grundlegend zu verstehen. Im Mittelpunkt stehen dabei euklidische Räume und die Suche nach optimalen oder zumindest neuen besten periodischen Punktmengen für verschiedene geometrische Fragestellungen, wie z.B. die klassischen Kugelpackungs- und Überdeckungsprobleme, oder das Quantizer-Problem. Viele dieser Probleme können als kombinatorische Optimierungsprobleme formuliert und mit Hilfe entsprechender Algorithmen und Software prinzipiell gelöst werden. Dabei spielen spezielle durch die periodische Punktmenge induzierte Zerlegungen des Raumes in Polyeder (Voronoi- und Delone-Zerlegung) eine wichtige Rolle.In jüngster Zeit hat es bahnbrechende Arbeiten in diesem Bereich unter Zuhilfenahme von Computerberechnungen gegeben. Zwei Schritte waren hier charakteristisch: Die heuristische Suche nach Strukturen, von denen man vermutet, dass sie optimal sind, sowie der Beweis, dass die gefundene Struktur tatsächlich optimal ist. Beide Schritte lassen sich oftmals effektiv rechnerunterstützt durchführen. So haben wir uns zum Ziel gesetzt, die zu entwickelnden oder bekannten Algorithmen auf ein gemeinsames Fundament von Standardproblemen zurückzuführen, die auch für andere Gebiete von Interesse sind. Ein Ziel besteht deshalb darin, einen Fundus an öffentlich zugänglichen Implementationen bereitzustellen.