Regelung Numerischer Eigenwertverfahren: Kontrollierbarkeit, Stabilität und optimale Steuerung

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Die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist eine zentrale Aufgabe der Numerischen Linearen Algebra mit breiten Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik. Obwohl inzwischen hervorragend funktionierende Algorithmen existieren, sind die theoretischen Grundlagen dieser Algorithmen meist nur unzureichend verstanden. Herausforderungen für die Zukunft bestehen darüber hinaus in der Weiterentwicklung effizienter iterativer Eigenwertverfahren für große Matrizen, sowie bei Problemen, die schnelle Konvergenz mit erwünschten Stabilitäts- und Robustheitseigenschaften verbinden. Da numerische Eigenwertverfahren nichtlineare Regelungssysteme sind, motiviert dies die Suche nach neuen, regelungstheoretischen Ansätzen, die das vorhandene Potential zur Steuerung und Adaption der Algorithmen optimal nutzen. Ziel des Projekts ist es, derartig neue systemtheoretische Zugänge zur Analyse und dem Entwurf von Eigenwertverfahren zu entwickeln. Methoden der Regelungstheorie sind bisher nur implizit in die Konvergenztheorie eingeflossen; der systematische Einsatz dieser Methoden in der Numerik ist die wesentliche innovative Komponente des Projekts. Durch die Kombination differentialgeometrischer Methoden zur Optimierung auf Mannigfaltigkeiten mit denen der nichtlinearen Systemtheorie soll ein neuer Ansatz zum systematischen Entwurf numerischer Eigenwertverfahren geschaffen werden. Zentrale Fragen, die im Projekt geklärt werden sollen, umfassen die Klärung wichtiger Grundlagenfragen, wie die Kontrollierbarkeit, der Feedbackstabilisierung und der (modellprädiktiven) optimalen Steuerung, sowohl für Multishift-Eigenwertverfahren als auch zum Lösen linearer Gleichungssysteme bei nichtexakten Eigenwertverfahren. Numerische Vergleiche der neuentwickelten Verfahren mit den bekannten sollen ebenfalls durchgeführt werden.