Research on global analysis and concentration energy for nonlinear dispersive equations

非线性色散方程的全局分析与集中能量研究

• 批准号: 18H01129
• 负责人: 高岡 秀夫
• 金额: $ 6.49万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-01 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-18H01129/
• 关键词: 分散型方程式; 初期値問題; 適切性; 非線形; 適切生; 分散型; 解析学

本年度は，KdV 方程式の基本解を与える線形作用素に対するストリッカーツ評価式について，その臨界性と双線形形式の評価式への拡張を研究した．ストリッカーツ評価式は解の時空可積分性を表し，全空間において無限遠点で減衰する初期値に対しては，一般に解の時間減衰評価が成り立ち，そこから時間と空間において大域的なストリッカーツ評価式が導かれる．一方，有限領域におけるストリッカーツ評価式については，全空間のような時間減衰効果が期待されず，同等な評価式が必ずしも成り立たないことが知られていた．特に，空間変数に対して周期関数である場合，Bourgain によってルベーグ指数が 6 までのストリッカーツ評価式が考察されていたが，全空間の場合に実現されたストリッカーツ指数まで大きな隔たりがあった．そこで本年度は，周期関数の場合のストリッカーツ評価式が全空間の場合のルベーグ指数でも成り立つかどうか，反証の立場から研究し，ストリッカーツ評価が整合するルベーグ指数に制約があることを得た．また，双線形型のストリッカーツ評価式により平滑化効果を研究した．波数空間が異なる２つの初期値をKdV 方程式の基本解を与える線形作用素により時間発展させた場合，相互作用により解の平滑化が得られることが分かった．得られた双線形型の評価式を非線形評価に適用することによって，時間大域解に対するソボレフ増大評価式を得ることができた．ソボレフ増大評価式については既に知られていたが，今回は双線形評価式を用いることにより，より厳密な評価を与えることに成功した．論文は投稿中である．

今年，我们研究了线性运算符的Strickertz评估方程，该方程为KDV方程提供了基本解决方案，并扩展了双线性形式的评估方程。 Strickertz评估方程表示解决方案的时空集成性，并且对于在所有空间中无限衰减的初始值中，对解决方案的时间阻尼评估通常可以保持，因此，全局Strickertz评估方程在时间和空间中得出。另一方面，众所周知，有限区域中的Strickertz评估方程并不期望像整个空间那样产生时间分配效果，并且等效评估方程不一定成立。特别是，当定期函数用于空间变量时，波尔加因使用LEBESGUE索引进行了最高6的strickertz评估方程，但是在整个空间中实现的Strickertz索引之间存在很大的差距。因此，今年，我们从分歧的角度研究了周期性功能的史蒂克茨评估方程是否还符合整个空间情况的Lebesgue指数，并发现对Strickertz评估一致的Lebesgue指数有限制。此外，使用双线性Strickertz评估公式研究了平滑效果。已经发现，当线性操作员开发了两个具有不同波数空间的初始值时，提供KDV方程的基本解时，相互作用可以提供解决方案的平滑性。通过将获得的双线性评估方程应用于非线性评估，我们能够获得时间全球溶液的Sobolev增加评估方程。 Sobolev增加评估公式已经知道，但是在这种情况下，我们通过使用双线性评估公式成功地提供了更严格的评估公式。该论文目前正在提交。

项目成果

Bilinear Strichartz estimates for dispersive equations on the torus

环面上色散方程的双线性 Strichartz 估计

• 发表时间: 2023
• 作者: Takaoka Hideo;Hideo Takaoka
• 通讯作者: Hideo Takaoka

Remarks on blow-up criteria for the derivative nonlinear Schr?dinger equation under the optimal threshold setting

最优阈值设定下导数非线性薛定谔方程的爆破准则评述

• DOI: 10.1016/j.jde.2021.05.003
• 发表时间: 2021
• 期刊: Journal of Differential Equations
• 影响因子: 2.4
• 作者: Takaoka Hideo

Energy cascades for resonant nonlinear Schrodinger equations

谐振非线性薛定谔方程的能量级联

• 发表时间: 2019
• 作者: Takaoka Hideo;Hideo Takaoka;Hideo Takaoka;高岡秀夫
• 通讯作者: 高岡秀夫

Harmonic Analysis and Partial Differential Equations

• DOI: 10.1007/978-3-031-24311-0
• 发表时间: 2022
• 期刊: Trends in Mathematics
• 作者: Cameron Gordon

調和解析と非線型偏微分方程式

谐波分析和非线性偏微分方程

• 发表时间: 2019