Research on global analysis and concentration energy for nonlinear dispersive equations

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本年度は，KdV 方程式の基本解を与える線形作用素に対するストリッカーツ評価式について，その臨界性と双線形形式の評価式への拡張を研究した．ストリッカーツ評価式は解の時空可積分性を表し，全空間において無限遠点で減衰する初期値に対しては，一般に解の時間減衰評価が成り立ち，そこから時間と空間において大域的なストリッカーツ評価式が導かれる．一方，有限領域におけるストリッカーツ評価式については，全空間のような時間減衰効果が期待されず，同等な評価式が必ずしも成り立たないことが知られていた．特に，空間変数に対して周期関数である場合，Bourgain によってルベーグ指数が 6 までのストリッカーツ評価式が考察されていたが，全空間の場合に実現されたストリッカーツ指数まで大きな隔たりがあった．そこで本年度は，周期関数の場合のストリッカーツ評価式が全空間の場合のルベーグ指数でも成り立つかどうか，反証の立場から研究し，ストリッカーツ評価が整合するルベーグ指数に制約があることを得た．また，双線形型のストリッカーツ評価式により平滑化効果を研究した．波数空間が異なる２つの初期値をKdV 方程式の基本解を与える線形作用素により時間発展させた場合，相互作用により解の平滑化が得られることが分かった．得られた双線形型の評価式を非線形評価に適用することによって，時間大域解に対するソボレフ増大評価式を得ることができた．ソボレフ増大評価式については既に知られていたが，今回は双線形評価式を用いることにより，より厳密な評価を与えることに成功した．論文は投稿中である．