非線形分散型方程式の初期値問題の適切性および大域挙動に関する解析的研究

非线性分布方程初值问题的适用性和全局行为的解析研究

• 批准号: 15740090
• 负责人: 高岡 秀夫
• 金额: $ 1.66万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740090/
• 关键词: 非線形分散型方程式; 初期値問題; 適切性

本年度は、非線形分散型波動現象を記述する非線形シュレディンガー方程式に対して、偏微分方程式論の立場から初期値問題の可解性を研究した。具体的には、プラズマ物理における数学モデルとしても登場する5次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式を考えた。トーラス上の初期値問題に対して、最近Bourgainは微分可能指数が1/2よりも小さいSobolev空間で時間大域解の存在定理が成り立つことを証明している。この空間は、不変測度が得られる関数空間として働き、時間大域解の漸近挙動を調べる上でも重要な結果と思われる。一方、全空間の初期値問題に対しては、同一なSobolev空間において時間大域可解性が示されているものの、それよりも小さい微分可能指数での実現の成否は分かっていなかった。全空間とトーラスという設定構造の相違が、解の特異性と非線形相互作用にどのように作用し、初期値問題の適切性にどのような現象を生じるか調べることは興味深い。フーリエ空間による考察から、非線形相互作用によって周波数の停滞する項が現れることが分かり、先行の解の関数空間はその項の処理に依存していた。トーラス上の初期値問題では、解の関数空間に解自身に依存する構造を取り入れ、問題となる停滞項を取り除くことが行われたが、全空間の場合はそれが連続的であり、トーラス上の問題と同様な処理は困難と思われる。今回は、平滑効果を導く新しい3線形評価式を示すことからその様な周波数の停滞は瞬時に起こることを示し、時間大域解の存在証明に対して微分可能回数がこれまでよりも小さい関数空間で評価できる証明を与えた。如何に時間局所解が大域的に延長されるかは未解決として残っているが、他の方程式への応用は十分期待される。この成果は論文として現在取りまとめている。

This year, we will study the solvability of initial problems from the standpoint of nonlinear dispersion equations and partial differential equations Specific physics, mathematics, non-linear terms, non-linear terms, non-linear equations The existence theorem of solutions in large time domains in Sobolev space is proved. The space and the invariant measure are obtained from the asymptotic motion of the solution in the large domain of time. The initial value problem of a square, the whole space, the same Sobolev space, the large domain solvable in time, the small differential possible index, and the realization of the problem. The whole space sets the structure of the contradiction, the specificity of the solution, the non-linear interaction, the relevance of the initial problem, the phenomenon of the occurrence, the modulation, the deep interest. In the case of non-linear interaction, the term of stagnation of the number of cycles appears to be dependent on the term of spatial analysis. The problem of initial value on the solution space depends on the structure of the solution itself. The problem of static term is divided into two parts. In the case of the whole space, the problem of connection is difficult to deal with. This time, we show that the smoothing effect leads to a new three-line shape evaluation formula, and that the stagnation of the number of cycles occurs instantaneously. We also show that the existence of a solution in the large time domain proves that the possible number of differential loops can be evaluated in a small correlation space. How to solve the problem of large domain extension is not solved, and his equation is very expected The results of this paper are now available.

项目成果

H.Takaoka: "Sharp global well-posedness for KdV and modified KdV on R and T"J.Amer.Math.Soc.. 16・3. 705-749 (2003)

H.Takaoka：“R 和 T 上 KdV 和修正 KdV 的尖锐全局适定性”J.Amer.Math.Soc.. 16・3 (2003)。

H.Takaoka: "Polynomial upper bounds for the orbital instability of the 1D cubic NLS below the energy norm"Discrete Contin.Dyn.Syst.. 9・1. 31-54 (2003)

H.Takaoka：“低于能量范数的一维立方 NLS 的轨道不稳定性的多项式上限”Discrete Contin.Dyn.Syst.. 9・1 (2003)。

H.Takaoka: "Polynomial upper bounds for the instability of the nonlinear Schrodinger equation below the energy norm"Commun.Pure Appl.Anal.. 2・1. 33-50 (2003)

H.Takaoka：“低于能量范数的非线性薛定谔方程的不稳定性的多项式上限”Commun.Pure Appl.Anal.. 2・1 (2003)。