パラメーターを含む非線形分散型方程式の連立系に対する時間大域的可解性について

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当該年度は前年度に引き続き、レーザーとプラズマの相互作用を記述する非線形シュレディンガー方程式系(以下NLS系)の初期値問題を考えた。この問題において、解の長時間挙動については十分小さな初期値に対するもの以外はほとんど知られていない。そこで本研究では、孤立波の近傍にある初期値に対する解の長時間挙動について調べた。具体的には次の問題に取り組んだ。(池田正弘氏との共同研究)(1) 孤立波解は存在するか？(2) 孤立波の近傍の初期値に対し、解は時間大域的に存在するか？(3) 孤立波は安定か？つまり、孤立波の近傍の初期値に対し、解も孤立波の近傍に留まるか？これらの問題を解決するために、保存量に対する変分法的手法を用いた。まず(1)の問題については、作用と呼ばれる保存量を最小にする解(基底状態解)が存在することを前年度までの研究で示しており、孤立波解は基底状態解を用いて構成できることが分かっている。次に(2)については、前年度までの研究で時間大域解が得られるための初期値に対する十分条件は得られていたものの、そのような初期値と孤立波との関連性については分かっていなかった。最後に(3)については前年度までの研究では何も得られていない。当該年度の研究では、(2)について時間大域解が得られるための初期値に対する条件をより詳細に調べ、基底状態との関係式によって時間大域解が得られる初期値を特徴付けることができた。次に(3)については、まず安定性が得られるための基底状態に対する条件を明らかにした。その上で、どのような基底状態がその条件を満たすかについて考え、空間1次元の場合に伝搬速度が十分遅い孤立波の安定性を示すことに成功した。これらの結果については現在論文を執筆中である。