作用素環の境界と融合積の研究

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本研究では、抽象的なC*環を離散群の抽象化とみることで、離散群の境界理論の抽象化を考えた。具体的な目標としては，完全C*環の自然な核型C*環への埋め込みの存在について問う小澤の予想に対して，離散群の種々の境界の理論の類似を用いたアプローチを考えた．具体的には，完全C*環の典型例の一つである核型C*環の自由積に対して，Furstenberg境界と密接に関係する単射的包絡と，群上のランダムウォークから定まるPoisson境界の抽象化である非可換Poisson境界の関係を明らかにすることで，上記予想の解決を目指した。これまでの研究でC*環の自由積については境界の候補が得られているため、その上の適切な状態を固定してPossion境界の理論の類似を考察した。Cuntz環の自由積のような扱いやすい設定で非可換Markov作用素と非可換Poisson境界の研究を行なったが、求める結果には到達できなかった。問題の難しさは群上のランダムウォークにおける調和測度の一意性が接合積の上の"調和状態"に対して容易に拡張できないことにあった。他方で、名古屋大学の植田好道教授との共同研究で、Arvesonによる境界定理に対する泉の非可換Possion境界を用いた簡単な別証明が得られた。Arvesonの境界定理はArvesonによって導入されたもう一つの作用素環論における境界の概念であり、ある種の剛性と関係がある。本研究で非可換Possion境界との関係性が少し明らかになったため、今後の作用素環論における境界の研究の取っ掛かりになることが期待できる。