ゼータ母関数族と多重保型形式の相互構築

点击翻译按钮获取中文摘要

本研究においては，尖点形式に由来する数論的母関数の構成が目的である。申請者はHankel路積分表示を持つゼータ母関数をこれまで研究開発してきた。尖点形式に由来するゼータ関数は, 合流型超幾何関数を係数にもつ場合等も含めてRiemannゼータ関数等の母関数表示を自然に持つことが観察されている。尖点形式の多重化や一般Poincare級数などの具体的な積分表示・変換公式等の導出をも目標とする。令和4年度は，モジュラー群上の正則Poincare級数に由来・含有されるゼータ関数を定義した。このゼータ関数は指数型Riemannゼータ関数の母関数の一般の場合となっている。この指数型Riemannゼータ母関数について，Hankel路積分表示，解析接続, 関数関係式, 変換公式等を導出した。指数型ゼータ母関数は歴史的にHardy--Littlewoodの三角関数を係数に持つ調和級数の研究にその源があり，その積分平均等の漸近挙動がBessel関数を用いて表示されることが研究されてきた。また，指数型母関数の漸近挙動の研究としてはChowla--Hawkinsを源にして，最終的にVoronoi型和公式が桂田昌紀によって与えられていた。本研究の主結果の一つである積分表示から従う変換公式は，正則Poincare級数に由来するゼータ関数を指数型Riemannゼータ母関数とみなした場合，桂田氏の結果に一致するものである。一方，関数関係式からは自然な形で正則Poincare級数のFourier級数展開の別証明が得られる。これらの結果により，本研究対象である指数型Riemannゼータ母関数が基本的かつ重要なゼータ関数であることを明らかにした。