母関数とフロアー・ホモロジー

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本年度は、曲面の孤立特異点のリンクの接触構造と、それを凸な境界とするコンパクト4次元シンプレクティック多様体(シンプレクティック充填)の研究を中心に活動した。孤立特異点の極小特異点解消や、(存在する時に限るが)ミルナー・ファイバーはシンプレクティック充填の例である。有理特異点のいくつかの系列については、既知の結果がある。巡回商特異点でA_<m,1^->型と呼ばれるもの(McDoff);単純特異点、単純楕円特異点の場合(太田-小野)。いずれも、シンプレクティック充填を閾シンプレクティック多様体に埋め込み、その全空間と補集合の決定が鍵となる。太田-小野は、有理特異点のリンクのシンプレクティック充填は、然るべき条件の下で、有理曲面に埋め込めると予想していたが、ブーパルはこれを「基本サイクルが被約となる」という条件の下で証明した。次に有理特異点の中でも有限群による商特異点の場合にシンプレクティック充填のシンプレクティック変形同値類の決定を、小野と共に試みた。方針は上述の太田-小野の議論と同じで、まず、シンプレクティック充填を然るべき凹な境界を持つコンパクトシンプレクティック多様体と貼り合わせ、これが有理曲面であることをみる。次に凹な境界を持つコンパクトシンプレクティック多様体が、ある因子の正則近傍であることに注意し、その因子の埋め込まれ方を調べるという手順である。第1のステップは極小特異点解消を有理線織曲面にコンパクト化することにより、実現される。第2のステップは、極小モデルにブロー・ダウンするための例外曲線が擬正則曲線として実現されることが鍵となり解折される。現在、第2のステップの一部検証が残っている。