Costruction of solutions to Schrödinger equations via wave packet transform and its application

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空間方向に関して滑らかで空間遠方で２次増大のポテンシャルをもつシュレーディンガー方程式は，波束変換により１階の偏微分方程式（正確には１階の偏微分方程式に剰余項が付いたもの）に変換でき，それに特性曲線の方法を用いると増大する項が位相関数にのみでてくる（つまり，増大する項が絶対値が１となるところにしかでてこない）積分方程式が得られることがこれまでの我々の研究でわかっている．この積分方程式は，解が初期値とポテンシャルのみからなる項（以下，第1項と呼ぶ）とポテンシャルの２階微分の項と解の積分からなる項（第2項）の和で書けるというものである．本研究では，この第1項のみを用いて解を構成する．具体的には，T>0とし，自然数Nに対しシュワルツの急減少関数をNが大きくなると集中するようにスケール変換しておき，その関数で波束変換して得られた第1項を用いて初期時刻からT/Nだけ時間発展する．それをN回繰り返して得られる近似解にたいし，Nを無限大とすると真の解が得られる．今年度は，この方法で真の解が得られること，真の解に近づく速さはNに関して1次になることを示すことができた．また，研究協力者の牛島健夫氏（東京理科大学創域理工）とこの方法を用いた数値計算について共同研究を行った．数値計算については空間次元が1次元の場合にMatLabを用いて具体的なプログラムを作成し，先行研究と比較しているところである．先行研究に対しどのようなアドバンテージがあるのかはまだ明確になっていない．