Construction of basic theory for ultradiscrete sytems with parity variables

本研究は「符号付き超離散(pUD)系の解析理論構築」を目指すものである．2022年度は，主に当該年度に遂行を予定していた「差分非線形バネ方程式の解を級数展開し，その主要項を調べる」研究を推進した．その結果，主要項と無限分岐を含む『不定解』の関係について，方程式に従って主要項どうしの計算を行う際に，パラメータの設定に応じて「相殺しない」「特殊な初期値の場合に相殺する」「どんな初期値でも相殺する」というケースがあり，不定解の現れ方に関係する具体例を把握することができた．しかし，超離散化は差分系の近似情報からその本質を捉えるという精神に沿った技法であり，主要項と不定解の関係を精密化していく方針には限界があることも示唆された．また，主に2023年度の遂行を予定していた「相平面上でのある領域を別の領域へ写す写像と『粗視化して』解釈する」方法の研究が，大学院生の鈴木清一朗氏との共同研究により大きく進展した．この方法を極限周期解を持つファン・デル・ポール方程式に対して提案し，その解の一部を領域間の遷移図によって視覚化することを通し，周期軌道の存在を示すことに成功した．さらに，超離散非線形バネ方程式に対し，先行研究では大域的な把握が困難であった解を，領域間の遷移図によって視覚化し，解をより適切に分類することができた他，不定解が現れる条件も一層明確になった．これらの成果はそれぞれ論文にまとめられ，2022年度中に出版された．加えて，リヤプノフ関数を持つという特徴がある競争型ロトカ・ボルテラ方程式の離散化に対し，時間単調性を証明できる離散的なリヤプノフ関数の候補を明示的に得るという成果を得て論文にまとめ，発表した．この研究は発展的な研究課題として研究期間4年目以降での着手を想定しているものだが，上記鈴木氏との共同研究によって予定より先行して着手することができた．

本研究は「符号付き超離散(pUD)系の解析理論構築」を目指すものである．2022年度は，主に当該年度に遂行を予定していた「差分非線形バネ方程式の解を級数展開し，その主要項を調べる」研究を推進した．その結果，主要項と無限分岐を含む『不定解』の関係について，方程式に従って主要項どうしの計算を行う際に，パラメータの設定に応じて「相殺しない」「特殊な初期値の場合に相殺する」「どんな初期値でも相殺する」というケースがあり，不定解の現れ方に関係する具体例を把握することができた．しかし，超離散化は差分系の近似情報からその本質を捉えるという精神に沿った技法であり，主要項と不定解の関係を精密化していく方針には限界があることも示唆された．また，主に2023年度の遂行を予定していた「相平面上でのある領域を別の領域へ写す写像と『粗視化して』解釈する」方法の研究が，大学院生の鈴木清一朗氏との共同研究により大きく進展した．この方法を極限周期解を持つファン・デル・ポール方程式に対して提案し，その解の一部を領域間の遷移図によって視覚化することを通し，周期軌道の存在を示すことに成功した．さらに，超離散非線形バネ方程式に対し，先行研究では大域的な把握が困難であった解を，領域間の遷移図によって視覚化し，解をより適切に分類することができた他，不定解が現れる条件も一層明確になった．これらの成果はそれぞれ論文にまとめられ，2022年度中に出版された．加えて，リヤプノフ関数を持つという特徴がある競争型ロトカ・ボルテラ方程式の離散化に対し，時間単調性を証明できる離散的なリヤプノフ関数の候補を明示的に得るという成果を得て論文にまとめ，発表した．この研究は発展的な研究課題として研究期間4年目以降での着手を想定しているものだが，上記鈴木氏との共同研究によって予定より先行して着手することができた．