次元スペクトルを用いたフラクタル集合の解析

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フラクタル集合の断面の次元は,これまで測度1の集合で計算されてきた.断面の次元の分布のより詳しい指標として,次元スペクトル(それぞれの次元の値をとる断面の集合のハウスドルフ次元)がセルオートマトンの極限集合および部分自己アファイン集合に対して計算された.断面の次元は,フラクタル集合上の自然な測度を断面に垂直な軸へ射影して得られる測度の特異性と対応し,次元スペクトルは特異性スペクトル(それぞれの特異性の値をとる点の集合のハウスドルフ次元)と対応している.これらの集合では,射影した測度はソフィック測度(有限個の非負行列から構成される測度)となっている.ソフィック測度の特異性スペクトルが特異性の小さい側で自由エネルギーのルジャンドル変換として表されることから,次元スペクトルもまた,断面の次元の大きい側で,自由エネルギーをルジャンドル変換に類似した変換で表されることがわかる.ソフィック測度から,それぞれの特異性を持つ集合の測度が1となるギブス測度の族が構成できるが,そのフラクタル集合上への引き戻しを考えることにより,部分自己アファイン集合のハウスドルフ次元が断面の次元と次元スペクトルの和の最大値で下から評価できる.また,次元スペクトルが自由エネルギーの疑似ルジャンドル変換として表されることから,逆温度を部分自己アファイン集合の次数(縦方向の縮小率の対数と横方向の縮小率の対数との比)とした自由エネルギーが断面の次元と次元スペクトルの和の最大値と一致し,また,逆温度が次数のギブス測度の引き戻しの特異性を考えることにより,この自由エネルギーの値で部分自己アファイン集合のハウスドルフ次元が上から評価できる.したがって,部分自己アファィン集合のハウスドルフ次元が断面の次元と次元スペクトルの和の最大値と一致することがわかった.