Study of holonomic constants using algebraic analysis

円周率を表す級数の多くが「ホロノミック級数」と呼ばれるクラスに属していることに注目し、ホロノミック級数の観点から、広く無限級数に関する基礎的な調査を行った。距離空間の不変量であるマグニチュードについては、従来から "Scattered" と呼ばれる性質を持った有限距離空間に対しては素朴な意味での級数表示が収束するが、一般には収束せずにある種の解析接続を経由して初めて計算可能となる。"Scattered"でない場合でも、正定値空間と呼ばれる有限距離空間に関しては、Borel総和法でマグニチュードを求められることを観察しており、発表手段を検討している。マグニチュードに関してはここ数年、実解析の専門家の参入が活発で、今年度、その方面の進展を取り入れるために、関連する研究集会に出席し、トポロジー、組合せ論、幾何解析や数理物理の専門家との議論の機会を何度か持った。その結果、マグニチュードの圏化とされるマグニチュードホモロジーをホモロジー群に持つような空間対「マグニチュードホモトピー型」が導入された。本研究との関連では、マグニチュードホモトピー型は経路積分的な表示を持つことが明らかとなり、その表示を通してマグニチュード自体に対して何が言えるかは今後の課題である。Ehrhart理論などの数え上げ関数から決まる無限級数は、ホロノミック級数の中でも特に単純なクラスを成すが、ほかにも周期グラフの増大度関数などに関する重要な進展があり、より広い視野に立ち研究を進める必要性が明らかになってきた。

円周率を表す級数の多くが「ホロノミック級数」と呼ばれるクラスに属していることに注目し、ホロノミック級数の観点から、広く無限級数に関する基礎的な調査を行った。距離空間の不変量であるマグニチュードについては、従来から "Scattered" と呼ばれる性質を持った有限距離空間に対しては素朴な意味での級数表示が収束するが、一般には収束せずにある種の解析接続を経由して初めて計算可能となる。"Scattered"でない場合でも、正定値空間と呼ばれる有限距離空間に関しては、Borel総和法でマグニチュードを求められることを観察しており、発表手段を検討している。マグニチュードに関してはここ数年、実解析の専門家の参入が活発で、今年度、その方面の進展を取り入れるために、関連する研究集会に出席し、トポロジー、組合せ論、幾何解析や数理物理の専門家との議論の機会を何度か持った。その結果、マグニチュードの圏化とされるマグニチュードホモロジーをホモロジー群に持つような空間対「マグニチュードホモトピー型」が導入された。本研究との関連では、マグニチュードホモトピー型は経路積分的な表示を持つことが明らかとなり、その表示を通してマグニチュード自体に対して何が言えるかは今後の課題である。Ehrhart理論などの数え上げ関数から決まる無限級数は、ホロノミック級数の中でも特に単純なクラスを成すが、ほかにも周期グラフの増大度関数などに関する重要な進展があり、より広い視野に立ち研究を進める必要性が明らかになってきた。