Commutative algebraic study of hyperplane arrangements

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超平面配置は様々な組み合わせ論的問題と関係した研究対象であるが、同時に可換環論的な側面も持っている。そのような代数的構造の代表的なものの一つに対数的ベクトル場のなす加群がある。ここ数年、様々な数列の対数的凸性との関連で、Gorenstein-Artin環のLefschetz性（なめらかな射影多様体のコホモトジー環においてKahler形式から定まる元が持つ非退化性(Lefschetz分解)や正値性(Hodge-Riemann不等式)を代数的に抽象化したもの）が注目を集め、活発に研究されている。超平面配置の対数的ベクトル場の加群は、超平面配置のヤコビイデアルやその商環であるヤコビ環の代数的性質と密接に関係しており、日本学術振興会外国人特別研究員のElisa Palezzato氏は、超平面配置の可換環論的な側面について、いくつかの研究を進めている。一つ目のテーマはヤコビ環の可換間論的な側面、とくにLefschetz性についてである。超平面配置の特異点は孤立特異点でないため、ヤコビ環はArtin環とはならない。そこで自然数k>0に対して「k-Lefschetz性」という概念が定義されている。超平面配置のヤコビ間がk-Lefschetz性を持つための必要十分条件をいくつか明らかにした。二つ目のテーマは、数年前に阿部拓郎氏によって導入された "Plus-one generated" という性質をもった超平面配置である。これは寺尾宏明氏を中心に長年よく調べられてきた「自由配置」の次の自然なクラスト考えられている。また、有理数体上定義された超平面配置を mod p で有限体上の超平面配置としたときに自由性がどうふるまうかという基本的な問題にも成果を挙げた。これら超平面配置の研究のほかに、グラフ理論の研究者とともに、純粋にグラフ理論の研究も進めている。