Unites, équations diophantiennes et courbes elliptiques

点击翻译按钮获取中文摘要

La théorie des nombres est un des domaines les plus ancients et attrayants des mathématiques et continue à jouer un rôle central. Les techniques utilisées proviennent de différentes branches des mathématiques. Récemment, beaucoup d'applications concrètes ont été trouvées pour la théorie des nombres, en particulier, l'utilisation de l'arithmétique des corps de nombres et les courbes elliptiques, en cryptographie pour construire des cryptosystèmes, pour factoriser de grands entiers et pour les tests de primalité. Les résultats spéctaculaires des dernières années, à savoir la preuve du dernier théorème de Fermat par A. Wiles et la résolution de la conjecture de Catalan par P. Mihailescu ont donné une grande poussée à la théorie des nombres et ont montré la grande connection qui existe entre les résultats provenant de l'étude des corps de nombres, l'étude des courbes elliptiques et certaines expressions algébriques simples. Ma recherche se divise essentielement en trois parties reliées. La première partie, consiste à l'étude des corps de nombres, plus particulièrement leurs groupes des unités et leurs nombres de classes. La connaissance du groupe des unités est indispensable pour l'étude de l'arithmétique des corps de nombres et est souvent un ingrédient essentiel pour résoudre certaines équations diophantiennes. La deusième partie consiste au calcul du rang de courbes elliptiques reliées aux nombres congruents. La plupart des questions sur les courbes elliptiques sont reliées au calcul du rang. Il n'existe pas d'algorithme qui garantit le calcul du rang de n'importe quelle courbe elliptique d'une manière inconditionnelle. Avoir une connaissance sur les rangs des courbes elliptiques que je veux étudier donnerait des informations sur les nombres congruants et permettrait la vérification de certaines conjectures comme la conjecture de la parité. Beaucoup de théoriciens des nombres dans le monde continuent à travailler activement dans cette direction. La troisième partie consiste à appliquer et à adapter les techniques développées par A. Wiles, K. Ribet, H. Darmon, L. Merel, M. Bennett et B. Skinner pour résoudre certaines équations diophantiennes qui apparaissent lors de résolution de certains problèmes diophantiens.