Unités, groupes de classes, équations diophantiennes, plans projectifs finis

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Un corps de nombres K est une collection d'éléments qui sont des racines (solutions) de polynômes en X ayant des coefficients entiers. L'ensemble des éléments de K qui sont des solutions de polynômes unitaires (i.e. le coefficient de la plus haute puissance de X est 1) avec des coefficients entiers est appelé l'ensemble A des entiers algébriques de K. L'ensemble des éléments de A qui sont inversibles est appelé le groupe U des unités de A. Le but de la théorie algébrique des nombres est de décrire A et U, de même que certains sous-ensembles de A qu'on appelle des idéaux de A. Parfois, les unités sont utiles pour trouver toutes les solutions d'équations à deux inconnues X et Y. On a un exemple de corps de nombres en prenant K égal à l'ensemble Q des fractions a/b avec a et b entiers et b non nul, en prenant A égal à l'ensemble Z des entiers …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … , puis en prenant pour U l'ensemble formé de 1 et -1; les idéaux de A seront alors tous les ensembles formés des multiples de n pour chaque entier n plus grand ou égal à 0. ***