Hochdimensionale numerische Integration: Komplexität, Konstruktion von Integrationspunkten und Anwendungen in der Finanzmathematik

本课题主要研究高维数值积分及其在金融数学中的应用。这是一个基础性的理论成果，它是通过对金融衍生工具的研究发现的准蒙特卡罗方法，并通过对衍生工具的适应性研究得出的。这两个问题的解决是对均匀分布理论的研究和探讨，是韦尔登理论、几何和随机分布的数学基础。基于调和分析和多小波理论的新发展，其中随机性和去随机性的理论在韦尔登中得到了很好的解决。新的拟蒙特卡罗方法也是Dünn-Gitter方法，并在此基础上建立了杂交模型。Allgemeinere graduaten zur Informationskomplexität（“Information-based Complexity”）der multivariaten Integration im Rahmen des kürzlich entwickelten Begriffsapparats der“Generalized Tractability”sollen das Projekt abunden.

Das Projekt widmet sich der hochdimensionalen numerischen Integration und ihrer Anwendung in der Finanzmathematik. Hauptziel ist es, eine fundierte theoretische Erklärung für den Erfolg sogenannter Quasi-Monte-Carlo-Methoden bei der Bewertung von Finanzderivaten zu finden und das dadurch gewonnene Wissen zur Entwicklung effizienter adaptiver Algorithmen zur Derivatbewertung zu nutzen. Zu diesem Zweck sollen insbesondere tiefergehende Untersuchungen zur Theorie und Algorithmik der uniformen Verteilung (Geometrische Diskrepanztheorie), einem Teilgebiet der Mathematik auf der Schnittstelle zwischen Zahlentheorie, Geometrie und Stochastik, durchgeführt werden. Neuere Entwicklungen aus der Harmonischen Analysis und der Theorie der Multiwavelets sowie der Theorie der randomisierten und derandomisierten Algorithmen sollen hierbei mit einbezogen werden. Neben Quasi-Monte-Carlo-Methoden sind auch Dünn-Gitter-Methoden und auf beiden Methoden basierende Hybridansätze Gegenstand der Untersuchungen. Allgemeinere Studien zur Informationskomplexität („Information-based Complexity") der multivariaten Integration im Rahmen des kürzlich entwickelten Begriffsapparats der „Generalized Tractability" sollen das Projekt abrunden.