Mathematical Sciences: Preconditioning by Fast Transforms

数学科学：通过快速变换进行预处理

• 批准号: 8703313
• 负责人: Gilbert Strang
• 金额: $ 18万
• 依托单位: Massachusetts Institute of Technology
• 依托单位国家: 美国
• 项目类别: Continuing Grant
• 财政年份: 1987
• 资助国家: 美国
• 起止时间: 1987-06-01 至 1990-11-30
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://www.nsf.gov/awardsearch/showAward?AWD_ID=8703313&HistoricalAwards=false
• 关键词: Mathematical; Sciences; Preconditioning; Fast; Transforms

The analytical problem in this proposal is the relation between a given operator and its preconditioner. Given is a differential or integral or convolution operator with general boundary conditions. The preconditioner has particularly convenient domain and boundary conditions. After discretization it can be inverted by the Fast Fourier Transform, or in the case of the Dirichlet problem by a Fast Sine Transform. In the matrix case one applies the preconditioned conjugate gradient method and the distribution of the eigenvalues is crucial. A small number of extreme eigenvalues is acceptable if all other eigenvalues are clustered - that is what appeared in numerical experiments. The conjecture on clustering depends on establishing that the eigenvectors decay exponentially, away from the boundary. The analysis should connect problems in operator theory to problems in numerical analysis, and may give a new direction in the class of equations for which preconditioning is essential. This research falls into the general area of numerical analysis, numerical computing, computational mathematics and software design. The problem of Toeplitz operators is important in signal processing. The problem of numerical computations associated with Toeplitz matrices arises in many problems of communications engineering and its solution is of considerable importance.

这一建议中的分析问题是， 给定运算符及其预处理器。 给定的是微分或 具有一般边界条件积分或卷积算子。 的 预条件子具有特别方便的域和边界 条件离散化后，可以通过快速傅里叶变换对其进行反演。 变换，或者在Dirichlet问题的情况下，通过快速正弦 变换 在矩阵的情况下，应用预处理共轭梯度 方法和特征值的分布是至关重要的。 一个小 如果所有其他特征值都 集群-这是出现在数值实验。 的 关于聚类的猜想依赖于建立特征向量 在远离边界的地方呈指数衰减 分析应 将算子理论中的问题与数值分析中的问题联系起来， 并可能在方程类中给出一个新的方向， 预处理是必要的。 这项研究属于数值分析的一般领域， 数值计算、计算数学和软件设计。的 Toeplitz算子问题是信号处理中的一个重要问题。 与Toeplitz矩阵有关的数值计算问题 通信工程中的许多问题及其解决方法 是相当重要的。