Gauge Theory and Geometry in Dimensions Three and Four

三维和四维的规范理论和几何

基本信息

  • 批准号:
    0100771
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 25.77万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2001
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2001-07-15 至 2004-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

AbstractAward: DMS-0100771.Principal Investigator: Peter B. KronheimerThe aim of this project is to apply gauge-theory techniques tothe study of three-dimensional manifolds. The principalinvestigator proposes to investigate Floer homology and closelyrelated areas of geometry, and hopes to shed light on theapplicability of gauge theory to problems in three-dimensionaltopology. In particular, it is hoped that a relation can beestablished between the Floer homologies of three-manifoldsdefined on the one hand by the monopole equations on the otherhand by the instanton equations. (These are the equations which,in four-dimensions, lead respectively to the Seiberg-Witteninvariants and Donaldson invariants of four-manifolds, and whichhave led to an flood of results in four-dimensional differentialtopology in the past twenty years.) A first goal is to provethat if the instanton Floer homology of manifold with first bettinumber one is trivial in the strong sense that all therepresentations of the fundamental group can be made to disappearby a holonomy perturbation, then the monopole Floer homologygroups are trivial also. (For the instanton groups, the relevantrepresentations are the representations in SO(3) with non-trivialStiefel-Whitney class.) By an application of a non-vanishingtheorem for the monopole Floer homology and use of Floer's exacttriangle, this would lead to a proof of the "Property Pconjecture". A related goal in this project is the developmentof new constructions for Floer homology, based on the techniqueof finite-dimensional approximation (which has already seenconvincing application in the study of the four-dimensionalinvariants).Topology is the qualitative study of space and its connectedness.Its importance was recognized at the turn of the last century bythe French mathematician Poincaro, during his investigation ofthe laws of motion that govern the movement of a three-bodysystem such as the Earth, Moon and Sun moving according toNewton's laws. In the past twenty years, topology has seenapplications in questions such as the knotting of proteins andDNA, and in modern theories of high-energy physics. The topologyof three-dimensional spaces, as opposed to those of higherdimension, is of particular subtlety. Through this project, itis hoped to bring new techniques to bear on outstanding questionsin three-dimensional topology. These techniques -- gauge theoryand the Seiberg-Witten equations -- originated in physics, wherethey had potential application to fundamental questions such asquark confinement. They have been an effective tool in the studyof four-dimensional spaces (such as our space-time). The aim nowis to apply the same techniques to questions in dimension three.
摘要奖:DMS-0100771。主要研究者:Peter B。这个项目的目的是应用规范理论技术来研究三维流形。 首席研究员提出调查弗洛尔同源性和密切相关的几何领域,并希望阐明规范理论的适用性问题的三维拓扑结构。 特别是,希望能在一方面由π方程定义的三流形的Floer同调与另一方面由瞬子方程定义的三流形的Floer同调之间建立一种联系。 (这些方程在四维空间中分别导致四维流形的Seiberg-Witteninvariants和唐纳森invariants,在过去的二十年中,它们导致了四维微分拓扑学的大量结果。) 第一个目标是证明如果第一个bettinnumber为1的流形的瞬子Floer同调在强意义下是平凡的,即基本群的所有表示都可以通过holonomy扰动而消失,那么第一个bettinnumber为1的流形的瞬子Floer同调群也是平凡的。 (For瞬子群,相关的表示是SO(3)中具有非平凡Stiefel-Whitney类的表示。) 通过应用Floer同调的一个不消失定理和Floer正合三角形,给出了“性质P猜想”的证明。 本项目的一个相关目标是基于有限维近似技术,发展Floer同调的新结构(在四维不变量的研究中已经有令人信服的应用)。拓扑学是对空间及其连通性的定性研究。它的重要性在上个世纪之交被法国数学家庞加莱认识到,在他的调查法律的运动支配运动的一个三体系统,如地球,月球和太阳运动根据牛顿定律。 在过去的20年里,拓扑学在蛋白质和DNA的打结以及高能物理的现代理论中得到了应用。 三维空间的拓扑,相对于那些更高维的空间,是特别微妙的。 通过这个项目,它希望带来新的技术来承担三维拓扑学中的突出问题。 这些技术--规范理论和塞伯格-威滕方程--起源于物理学,它们在诸如夸克禁闭等基本问题上有潜在的应用。 它们是研究四维空间(如我们的时空)的有效工具。 现在的目标是将同样的技术应用于三维空间的问题。

项目成果

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