Gauge theory and spatial graphs

规范理论和空间图

基本信息

  • 批准号:
    1405652
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 39.12万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Continuing Grant
  • 财政年份:
    2014
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2014-07-01 至 2018-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

This project will connect two areas of modern research in mathematics:the first is topology, the second is graph theory and network flows. Topology is the qualitative study of space and its connectedness. Its importance was recognized at the turn of the last century by the French mathematician Poincare, during his investigation of the laws of motion that govern the movement of a three-body system such as the Earth, Moon and Sun moving according to Newton's laws. In the past twenty years, topology has seen applications in questions such as the knotting of proteins and DNA, and in modern theories of high-energy physics. The topology of three-dimensional spaces, as opposed to those of higher dimension, is of particular subtlety. Graph theory also has a long history. It is the mathematical theory of networks and their connections, and sees application in many aspects of computer science, algorithms and optimization. By viewing networks as embedded in three-dimensional space, this project aims to use techniques from topology to study questions in graph theory. The topological techniques will be drawn from many sources, but particularly from gauge theory, a field having its origins in fundamental physics. The project will deepen our understanding of topology and its interaction with other areas of mathematics and science. At the same time, the project will train graduate students and disseminate results to researchers in the area.The project activity will be in the following specific areas. In collaboration with T. S. Mrowka, the PI will develop a new instanton homology for spatial trivalent graphs. This will be defined using a gauge theory related to representations of the fundamental group of the graph's complement in the group of rotations, SO(3). This SO(3) instanton homology will be a finite-dimensional vector space over the field of two elements. A proof will be completed, that the dimension of the SO(3) instanton homology is always non-zero, for any bridgeless, spatial trivalent graph. The PI will investigate the dimension of the SO(3) instanton homology for general planar trivalent graphs. It is expected that the dimension is always related to the number of three-edge-colorings of the graph. If the previous two goals are achieved, it will follow that every bridgeless, planar trivalent graph admits at least one three-edge-coloring, a major result in the field. Instanton homology theories for trivalent graphs defined using larger gauge groups such as SU(N) will be investigated as part of this project. The SU(3) case is expected to play a role in understanding the SO(3) instanton homology. Relations will be explored, between SU(N) instanton homology and categorifications of quantum invariants, such as Khovanov-Rozansky homology.
这个项目将连接两个领域的现代数学研究:第一个是拓扑学,第二个是图论和网络流。拓扑学是对空间及其连通性的定性研究。它的重要性在上个世纪之交被法国数学家庞加莱认识到,在他对支配三体系统运动的运动定律的研究中,如地球,月球和太阳根据牛顿定律运动。 在过去的20年里,拓扑学已经在蛋白质和DNA的打结等问题以及高能物理的现代理论中得到了应用。 三维空间的拓扑结构,与高维空间的拓扑结构相反,特别微妙。图论也有很长的历史。它是网络及其连接的数学理论,在计算机科学,算法和优化的许多方面都有应用。通过将网络视为嵌入在三维空间中,该项目旨在使用拓扑技术来研究图论中的问题。拓扑技术将从许多来源,但特别是从规范理论,一个领域有其起源于基础物理学。该项目将加深我们对拓扑学及其与数学和科学其他领域的相互作用的理解。同时,该项目将培训研究生,并向该领域的研究人员传播成果。与T. S. Mrowka,PI将为空间三价图开发一个新的瞬子同调。这将使用与旋转群SO(3)中图的补的基本群的表示相关的规范理论来定义。这个SO(3)瞬子同调将是一个二元域上的有限维向量空间。证明了SO(3)瞬子同调的维数对于任何无桥空间三价图都是非零的。PI将研究一般平面三价图的SO(3)瞬子同调的维数。期望维数总是与图的三边着色数有关。如果前两个目标得以实现,那么每一个无桥平面三价图都至少允许一个三边染色,这是该领域的一个重要结果。作为这个项目的一部分,我们将研究用更大的规范群(如SU(N))定义的三价图的瞬子同调理论。SU(3)的情况有望在理解SO(3)瞬子同调中发挥作用。将探索SU(N)瞬子同调与量子不变量的同调(例如Khovanov-Rozansky同调)之间的关系。

项目成果

期刊论文数量(1)
专著数量(0)
科研奖励数量(0)
会议论文数量(0)
专利数量(0)
A deformation of instanton homology for webs
网瞬子同调的变形
  • DOI:
    10.2140/gt.2019.23.1491
  • 发表时间:
    2019
  • 期刊:
  • 影响因子:
    2
  • 作者:
    Kronheimer, Peter B;Mrowks, Tomasz
  • 通讯作者:
    Mrowks, Tomasz
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