Konstruktive Darstellungstheorie

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In verschiedenen naturwissenschaftlichen Disziplinen, etwa in Physik und Kristallographie, spielen Gruppen eine ausgezeichnete Rolle, da sie das Konzept von Symmetrie mathematisch formalisieren. Bei vielen Anwendungen treten Gruppen in konkreten Realisierungen, z.B. als Matrixgruppen auf. Diese Realisierungen einer Gruppe heißen auch ihre Darstellungen. Die einfachen Gruppen sind die ¿atomaren Bestandteile, aus denen alle Gruppen zusammengesetzt sind. Die vollständige Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen stellt eine der größten Errungenschaften der Mathematik des 20. Jahrhunderts dar. Um dieses epochale Ergebnis für die oben genannten Anwendungen zu erschließen, müssen nunmehr die Darstellungen der endlichen einfachen Gruppen beschrieben werden. Die irreduziblen Darstellungen einer Gruppe sind die kleinsten Bestandteile, aus denen jede Darstellung zusammengesetzt ist. Eine endliche Gruppe besitzt nur endlich viele verschiedene irreduzible Darstellungen. Ziel des beantragten Projektes ist es, mit konstruktiven, rechnergestützten Methoden irreduzible Darstellungen der sporadischen Gruppen zu konstruieren. Hierbei handelt es sich um 26 besonders bemerkenswerte einfachen Gruppen, die sich keiner unendlichen Serie zuordnen lassen, und so individueller Behandlung bedürfen.