Homotopy Theory and Moduli Spaces

同伦理论和模空间

基本信息

  • 批准号:
    0805843
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 26.56万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2008
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2008-07-01 至 2013-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

The proposer aims to study homotopy theoretical properties of various moduli spaces. These are moduli spaces of manifolds with a geometric structure, for example a complex structure. The case of complex dimension one gives the moduli space of Riemann surfaces, which by now is relatively well understood. In contrast, much less is understood about moduli spaces of higher dimensional complex manifolds. This is project will investigate what can be said about this and related spaces using methods of homotopy theory. Another goal of this project is to study moduli spaces of manifolds with singularities. Here, the most basic case is the Deligne-Mumford compactification of Riemann's moduli space. For many application this space is more important than the uncompactified moduli space, and a homotopy theoretic understanding should be fruitful. In particular, the proposer will study applications to Gromov-Witten theory.A manifold is a general notion of space. Manifolds are fundamental in geometry, topology, analysis, and other areas of mathematics. In physics, they are the underlying geometric structure in Einstein's general theory of relativity, and play fundamental roles in mechanics, quantum field theory, and probably many other areas. Studying manifolds from a mathematical perspective can be done in two ways: You can study the geometric properties each manifold, one at a time, or you can study geometric properties of the collection of all manifolds at once. The "collection of all manifolds" can itself be thought of as a kind of space, and each individual manifold is a point in this space. This space is an example of a moduli space, and the current project aims at understanding geometric and topological properties of this moduli space and its variations.
提出者的目的是研究各种模空间的同伦理论性质。 这些是具有几何结构的流形的模空间,例如复杂结构。 复维数为1的情况给出了黎曼曲面的模空间,到目前为止,这是相对较好的理解。 相比之下,对高维复流形的模空间的理解要少得多。 这个项目将调查什么可以说这个和相关的空间使用同伦理论的方法。 这个项目的另一个目标是研究具有奇点的流形的模空间。 这里,最基本的情况是Riemann模空间的Deligne-Mumford紧化。 对于许多应用,这个空间比非紧化模空间更重要,同伦理论的理解应该是富有成果的。 特别地,提议者将研究Gromov-Witten理论的应用。流形是空间的一般概念。 流形是几何学、拓扑学、分析和其他数学领域的基础。 在物理学中,它们是爱因斯坦广义相对论中的基本几何结构,在力学、量子场论和其他许多领域中发挥着重要作用。 从数学的角度研究流形可以通过两种方式完成:你可以研究每个流形的几何性质,一次一个,或者你可以一次研究所有流形集合的几何性质。 “所有流形的集合”本身可以被认为是一种空间,每个流形都是这个空间中的一个点。 这个空间是模空间的一个例子,目前的项目旨在理解这个模空间及其变体的几何和拓扑性质。

项目成果

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