Efficient Models for Multivariate Functions and High-Dimensional Approximation

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Seit einiger Zeit besteht reges Interesse an der Behandlung hochdimensionaler Problemstellungen, beispielsweise in der Quantenmechanik, Meteorologie, Chemie oder der Finanzmathematik. Da solche Probleme nur selten erfolgreich analytisch gelöst werden können, ist man an effizienten Modellannahmen und guten Näherungslösungen interessiert. Die Herausforderung besteht darin, den sogenannten „Fluch der Dimension" zu umgehen, bei dem die notwendige Rechenzeit mit wachsender Dimension dramatisch zunimmt. Der Schwerpunkt des beantragten Projektes liegt auf der mathematischen Analyse von Modellen und deren Approximationseigenschaften sowie der Verbindung von nunmehr klassischen Zugängen mit neuen Ideen in diesem Gebiet. Ein Aspekt, der durch neueste Resultate aus der mathematischen Modellbildung der Quantenmechanik motiviert ist, liegt in der Erweiterung und systematischen Untersuchung von Abtastverfahren auf „optimierten dünnen Gittern" sowie „Gittern mit kleiner Diskrepanz". Ein neues Konzept im Mittelpunkt der Untersuchungen basiert auf einer empirischen Beobachtung. In der Tat besitzen viele natürlich vorkommende Signale weit weniger signifikante Freiheitsgrade als formal angenommen. Ausgehend von Annahmen und mittels Methoden aus der Theorie des Compressed Sensing werden multivariate Funktionenklassen behandelt, bei denen die Anzahl k der „aktiven" Variablen signifikant kleiner ist als die Problemdimension d.