Representation theory of vertex algebras for the 21st century

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荒川は、本研究課題の研究内容について、米国ペンシルベニア大学、中国精華大学でのColloquiumを含め、世界各地の12の国際研究集会・セミナーで講演を行った。研究面では、以下の成果を得た。1) 許容レベルのアフィン頂点作用素代数は擬平滑であり、最高ウエイトとは限らない既約なウエイト表現を持つ。川節等により既約ウェイト表現はすでに分類されているが、ウェイト表現の圏の構造についてはほとんど知られていない。そこで、荒川と川節はThomas Creutzig (Alberta)と共にウェイト表現の圏の構造を詳しく調べたところ、量子群の表現と密接に関係するという、驚くべきべき結果を得た。2)荒川は、4次元理論から現れる頂点代数の自由場表示について考察した。具体的には、Sven Moller(ハンブルグ）と共同で、4次元から現れる頂点代数の例である中心電荷-9のsmall N=4スーパーコンフォーマル代数を、P^1上の捻れたカイラルde Rham複体の大域切断として実現し、その自由場表示を層の開集合への制限写像として復元した。3) W代数は主にホモロジー代数的手法によりその表現論が展開されてきた。一方で，様々な具体例においては，コセット構成法と呼ばれる操作で得られるW代数の例が限定的に考察されてきた。近年，荒川-Creutzig-Linshaw の結果により，コセット構成法で得られる頂点代数と，量子還元法で定められたW代数との系列的な対応が明らかとなり，両者を合わせた応用を考えられる状況となった。上記の状況を踏まえ，山内はレベル2のADE型のアフィン頂点代数代数の場合に，ハイゼンベルグ代数に関するコセット構成法から生ずる頂点代数について，W代数との関連を含めて研究を行った。生成元としてA1型W代数を用いた場合に，上記のコセット構成法から得られる頂点代数を特徴づけ，分類する部分的な結果を得た。