Cohomology of finite groups and homotopy theory of classifying spaces from the viewpoint of representation theory

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本研究の研究対象は、有限群の表現論に関わる様々な構造の解析である。有限群の構造、部分群の fusion、分類空間のホモトピー論、等について、表現論とコホモロジーを通じて探求を行う。表現論の視点からの手法を主とし、併せて、両側 Burnside 多元環や両側集合圏の理論を応用した研究を行う。有限群の通常表現やモジュラー表現に加えて、有限次元多元環の表現論の観点からの考察も行なう。有限群の幾何学的な性質、特に、分類空間やコホモロジーの性質に関して、群の p-部分群の状況は重要な情報である。その抽象化であるフュージョンシステムは、分類空間の安定分解や標数 p の体を係数とするコホモロジー環の構造に強く関連し、群の両側集合を通して両側Burnside 環の作用とも結びついている。有限群のコホモロジー環の両側Burnside 環上の加群としての構造の研究は表現論とホモトピー論との関係の探究に大きく寄与する。本研究では、この点を視野に含めながら有限群や多元環の表現論の観点からの研究を目的とする。本年度は、主としてモジュラー表現についての研究を実施した。群多元環は直既約な多元環（ブロック多元環）の直積に分解し、各ブロック多元環の表現についての考察が必要となる。ブロック多元環には不足群あるいは下位不足群という重要な p-部分群が付随している。一方、加群がどの部分群から誘導されるかを測る相対射影性を記述する対象として、直既約加群の vertex がある。これらについて、ブロック多元環上の既約加群と下位不足群の関係を考察した。既約加群の vertex とブロックの下位不足群の間の対応で、各 vertex は対応する下位不足群を含むようなものが存在することを示し、主ブロック型のブロック多元環については更に強い結果を得た。また、可解群の場合には特に詳しい状況を調べることができた。