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Cohomology of finite groups and homotopy theory of classifying spaces from the viewpoint of representation theory

从表示论的角度看有限群的上同调与空间分类同伦论

基本信息

批准号：
21K03154
负责人：
飛田明彦
金额：
$ 1.5万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究の研究対象は、有限群の表現論に関わる様々な構造の解析である。有限群の構造、部分群の fusion、分類空間のホモトピー論、等について、表現論とコホモロジーを通じて探求を行う。表現論の視点からの手法を主とし、併せて、両側 Burnside 多元環や両側集合圏の理論を応用した研究を行う。有限群の通常表現やモジュラー表現に加えて、有限次元多元環の表現論の観点からの考察も行なう。有限群の幾何学的な性質、特に、分類空間やコホモロジーの性質に関して、群の p-部分群の状況は重要な情報である。その抽象化であるフュージョンシステムは、分類空間の安定分解や標数 p の体を係数とするコホモロジー環の構造に強く関連し、群の両側集合を通して両側Burnside 環の作用とも結びついている。有限群のコホモロジー環の両側Burnside 環上の加群としての構造の研究は表現論とホモトピー論との関係の探究に大きく寄与する。本研究では、この点を視野に含めながら有限群や多元環の表現論の観点からの研究を目的とする。本年度は、主としてモジュラー表現についての研究を実施した。群多元環は直既約な多元環（ブロック多元環）の直積に分解し、各ブロック多元環の表現についての考察が必要となる。ブロック多元環には不足群あるいは下位不足群という重要な p-部分群が付随している。一方、加群がどの部分群から誘導されるかを測る相対射影性を記述する対象として、直既約加群の vertex がある。これらについて、ブロック多元環上の既約加群と下位不足群の関係を考察した。既約加群の vertex とブロックの下位不足群の間の対応で、各 vertex は対応する下位不足群を含むようなものが存在することを示し、主ブロック型のブロック多元環については更に強い結果を得た。また、可解群の場合には特に詳しい状況を調べることができた。

This study focuses on the representation theory of image and finite groups. Structure of finite groups, fusion of partial groups, theory of classification spaces, etc., theory of representation, and exploration of finite groups The theory of multi-dimensional rings and multi-dimensional set rings is applied to the study of the theory of multi-dimensional rings. The general behavior of finite groups and the behavior of finite dimensional rings are investigated. Geometrical properties of finite groups, special properties, classification spaces, properties of finite groups, conditions of p-partial groups of finite groups, important information The abstract structure of the ring is strongly correlated with the stable decomposition of the classification space, the body coefficient of the scalar number p, and the side set of the group is communicated with the side Burnside ring. A Study on the Structure of the Addition Group on the Burnside Ring of the Finite Group The purpose of this study is to study the expression of finite groups and multidimensional rings. This year, the main task is to conduct research on the performance of the company. It is necessary to investigate the decomposition of the direct product of a group of multidimensional rings and the behavior of each multidimensional ring. A multi-dimensional ring is a deficient group, a subordinate deficient group and an important p-partial group. A description of the relative projective properties of a square, an additive group, and a vertex of an additive group. The relationship between the reduced additive group and the subordinate deficient group on the multidimensional ring is investigated. Both the vertex and vertex of the reduced group are opposite to each other, and each vertex is opposite to each other. The existence of the lower group is indicated by the main vertex and the multi-dimensional ring is obtained. In the case of a solvable group, it is necessary to adjust the situation.