有限群のコホモロジー論の研究

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奥山によって導入された加群に関する相対射影加群の理論を用いて準2面体群を2シロー群にもつ有限群のmod2コホモロジー環を決定した.この環の構造はすでに,考えている有限群の分類空間の安定ホモトピー類の決定というMartinoの仕事によって知られていたが,本研究によって簡明かつ代数的に証明することができたものである.加群に関する相対射影加群の理論は従来の部分群に関する相対射影加群の理論を一般化したものであり,その初めての応用例としてこの理論の有効性を示した.kを標数2の体とし,Gを考える有限群とする.まずkG‐加群Vで拡大0→k→V→Ω^3(kG)→0がΩ^3(kG)のP(V)‐射影被覆であるものを構成する.この拡大を用いて,コホモロジー群の次元公式,コホモロジー環のパラメーター系を得,さらにコホモロジー環の生成元と生成関係式を決定した.また,拡大0→k→V→Ω^3(kG)→0を用いて,主ブロックに属する単純kG‐加群MがΩ^4(M)=Mを満たさなければコホモロジー群H^*(G,M)は自明でないこともわかった.加群に関する相対射影加群の理論について次のことも示した.kを標数pの体とし,Gを有限群とする.コホモロジー類ρ∈H^n(G,k)に対して拡大O→k→Ω^<n-1>(L_ρ)→Ω^<n-1>(kG)→0がΩ^<n-1>(kG)のΡ(L_ρ)‐射影被覆であるためにはkG‐準同型pho^^<^>(] SY.crosprd. [)1_<Lρ>が射影的であることが必要十分である.Bensonによって標数pが奇素数ならばコホモロジー類ρの斉次数nが偶数のとき,この条件が成り立つことが知られている.標数pが2のときは成立しない.そこでp=2のとき,どのようなρに対して条件が成り立つかを調べる必要がある.これに関して,コホモロジー類τ,ρがともに条件をみたせば積τρhも条件を満たすことがわかった.