有限群のコホモロジー論の研究

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wreathed2-群Sをシロ-2-部分群にもつ有限群Gのmod2コホモロジー環H^*(G,k),ここで,kは標数2の体,の計算を行った.まず,非零因子ρ∈H^4(S,k)で,そのカ-ルソン加群L_ρに関するkの相対入射包絡が0→k→Ω^<-1>(L_ρ)→Ω^3(k)→0であり,さらに,普遍安定的であるものを発見した。普遍安定であることは,Green対応によるのであり,平成4年度一般研究(C)による,準2面体群をシロ-2-部分群にもつ有限群のmod2コホモロジー環の計算におけると同様である.上の拡大を用いて,コホモロジー環の次元公式が求められる.さらに,上のρがパラメーター系の斉次元であるためにはL_ρ【cross product】L_σが射影的である斉次元σ∈H^S(S,k)を発見しなければならない.そのため次の定理を示した.定理.kを標数pの体とする.有限群Gのp-ランクが2のとき,非零因子ρ∈H^r(G,k)がL_ρが周期的で,Ω^S(L_ρ)【similar or equal】L_ρを満たし,さらに完全系列0→k→Ω^<-1>(L_ρ)→^^fΩ^<r-1>(k)→0がL_ρに関するkの相対入射包絡であると仮定する.このとき,kのL_ρに関する相対射影被覆0→Ω^<-r>(k)→Ω^<s-r>(L_ρ)【symmetry】P→^^gk→0,Pは射影加群,をとれば写像Ω^<s-r+1>f^*:Hom_<kG>(Ω^S(k),k)→Hom_<kG>(Ω^<s-r>(L_ρ)【symmetry】P,k)によるgの逆像で表されるσ∈H^S(G,k)はρとともにH^*(G,k)のパラメーター系をなす.この定理はp-ランクが2という制約があるが,コホモロジー環のパラメーター系が一つの相対入射包絡から得られることを示しており,大きなランクに対しても,加群に関する相対射影加群の理論の有効性を示唆するものである.考えている有限群の場合,上のρ∈H^4(G,k)に対応するσは6次の斉次元である.6次までの生成元を求め,関係式を決定することでコホモロジー環の計算は完了した.