L関数たちの集合に対する値分布とその応用

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本年度においては主として2つの研究成果を得ることができた。リーマン・ゼータ関数やL関数たちの値分布論において、Voroninによって発見された普遍性定理やそれをさらに強くした同時普遍性定理と呼ばれるものが知られている。以前に、研究代表者は見正秀彦氏との共同研究により、実指標たちに付随するディリクレL関数たちの組たちの集合に対して、いわゆるd-aspectの同時普遍性定理や関連する結果たちを得ていた。それらの結果たちを部分的にでも改良することを目指したが、特に、ある極限において現れる多次元確率測度に対して同時確率密度関数が存在するという予想を証明することを目指した。それを目指して、まずは既知の関連結果たちやそれらの証明を調べてみた。1次元の場合には、関連する結果たちが国内外の様々な研究者によって得られていたが、多次元の場合には、ほとんど得られていない状況であることが分かった。また、複素変数の虚部を動かすといういわゆるt-aspectと呼ばれる場合が主に考察されてきたが、最近になってt-aspect以外の場合も考察されてきており、d-aspectの場合の結果もあった。そのため、まずはt-aspectで多次元の場合において考察を行った。そうして新たな2つの結果たちを得ることができた。1つは、リーマン・ゼータ関数の対数関数とその導関数に対するある複素2次元確率測度に関する同時確率密度関数の存在の結果である。もう1つは、複数個の適当なL関数たちの対数関数たちに対するある多次元確率測度に関する同時確率密度関数の存在の結果である。