On sums of arithmetic functions involving gcd-sum functions

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GCD和関数(最大公約数を変数とする2変数関数の和関数をいう)を含む総和公式について、初等整数論の立場から考察する方法と解析的理論の立場から考察する方法がある。本研究ではこれらを融合することで、様々な数論的関数の性質を解明することにある。しかしながら、今年度の研究実績は、解析的な方法を利用して得られた結果となった。以下詳細に述べる。１．Anderson-Apostol和はRamanujan和の一般化であり、様々な分野で用いられている。 本研究では、squarefull numbersを用いた2変数の2重和としてAnderson-Apostol和を定義して、2重和の部分和公式を解析学の方法とRiemannゼータ関数の解析的性質を利用して求めたものであり、昨年度の研究結果の一部改良を与えている。２．昨年度の求めたsquarefull numbersに関する方法をcube-full numbersに適用したものであるが、まったく同様にはできず、解析的方法を駆使しながら求めた。３．mn<xを満たすZm*Znの部分群の個数に関する和公式は, Sui-Liuによって最近、考察されている。ここでは、重み関数として対数関数を利用した和公式を求めた。このことで、彼らの結果の予想の確からしさを示した。さらに、Riemannゼータ関数の零点との密接な関係を示すまでには到達していないが、来年度を見据えて具体的に表記することを目指す。