空間グラフのトポロジー

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Ｗを集合とし、ｅをＷ上の同値関係とする。Ｘ＝Ｗ／ｅを同値類集合とする。Ｙを集合とし、ｆをＸからＹへの写像とする。ｆはＷの同値関係ｅに関する不変量と呼ばれる。例えばＷが位相空間の集合、ｅを同相とすればｆは位相不変量、Ｗを結び目の集合、ｅを全同位とすればｆは結び目不変量である。さらにＺを集合とし、ｇをＸからＺへの写像とする。このとき、ｆ×ｇを、ＸからＹ×Ｚへの写像でＸの元ｘをＹ×Ｚの元（ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ））に写すものと定義する。このとき、不変量ｆと不変量ｇの間の関係を、Ｙ×Ｚの部分集合（ｆ×ｇ）（Ｘ）と定義する。この定義のもので、不変量ｆと不変量ｇの間の関係を決定しようという研究は、今まで明示的、意識的になされたことはなかったように思われる。本研究では、ｆやｇとして、結び目の最小交点数・結び目解消数・橋指数・組紐指数・種数・標準種数を考え、これらの間の関係を考察または決定した。Ｊを結び目全体の集合とし、ｅを全同位とすれば、Ｋ＝Ｊ／ｅは結び目型全体の集合となる。Ｚを整数全体の集合とし、ｃを結び目の最小交点数、ｕを結び目の結び目解消数とする。本研究の一例としてｃとｕの間の関係（ｃ×ｕ）（Ｋ）について述べる。（ｃ×ｕ）（Ｋ）は、（０、０）と正の整数の組（ｘ、ｙ）で２ｘはｙ－１以下であるもの全ての和集合となる。（０、０）＝（ｃ×ｕ）（自明結び目型）であり、（６、２）＝（ｃ×ｕ）（スクエア結び目型）＝（ｃ×ｕ）（グラニー結び目型）である。これ以外の（ｃ×ｕ）（Ｋ）の元は全て素な結び目型の像となる。