Research on stabilization effect and qualitative properties of standing waves for variational problems with nonlocal interactions

本研究では、非線形シュレディンガー方程式における非局所的相互作用による定在波解の安定化に着目して、定在波の存在に関する閾値や定性的性質等を解析する。今年度の具体的な研究実績は次の通りである。静岡大学の足達慎二氏と慶應義塾大学の生駒典久氏共に、ソボレフ優臨界であることを許す非線形項を持つ半線形シュレディンガー方程式を考察して、変分法を用いて正値解の存在を示した。この研究結果は、学術雑誌「Manuscripta　Mathematica」に掲載が決定している。本研究で用いたアプリオリ評価やレベル集合の解析手法は、他の微分方程式の研究にも応用できると期待している。特に、非局所項方程式において、ある種の近似を行うと準線形方程式が得られることが知られているが、準線形項の制御に本研究で用いたアプリオリ評価を応用できると考えている。他には、ボルドー大学のMathieu Colin氏と共に、2次元シュレディンガー・マックスウェル方程式の定常問題や非線形光学で現れる他の微分方程式系における定在波解の安定性に関する研究を行った。また、マドリード・カルロス第3大学のPablo Alvarez-Caudevilla氏と共同で、4階非線形シュレディンガー方程式系の基底状態解の存在や分類に関する研究を行った。これらの研究内容については、現在論文を執筆中である。さらに、カリフォルニア州立大学のHichem Hajaiej氏と分数べきシュレディンガー方程式の定常問題に関する共同研究を開始した。

本研究では、非線形シュレディンガー方程式における非局所的相互作用による定在波解の安定化に着目して、定在波の存在に関する閾値や定性的性質等を解析する。今年度の具体的な研究実績は次の通りである。静岡大学の足達慎二氏と慶應義塾大学の生駒典久氏共に、ソボレフ優臨界であることを許す非線形項を持つ半線形シュレディンガー方程式を考察して、変分法を用いて正値解の存在を示した。この研究結果は、学術雑誌「Manuscripta　Mathematica」に掲載が決定している。本研究で用いたアプリオリ評価やレベル集合の解析手法は、他の微分方程式の研究にも応用できると期待している。特に、非局所項方程式において、ある種の近似を行うと準線形方程式が得られることが知られているが、準線形項の制御に本研究で用いたアプリオリ評価を応用できると考えている。他には、ボルドー大学のMathieu Colin氏と共に、2次元シュレディンガー・マックスウェル方程式の定常問題や非線形光学で現れる他の微分方程式系における定在波解の安定性に関する研究を行った。また、マドリード・カルロス第3大学のPablo Alvarez-Caudevilla氏と共同で、4階非線形シュレディンガー方程式系の基底状態解の存在や分類に関する研究を行った。これらの研究内容については、現在論文を執筆中である。さらに、カリフォルニア州立大学のHichem Hajaiej氏と分数べきシュレディンガー方程式の定常問題に関する共同研究を開始した。