変分法を用いた非線形楕円型方程式の解の形状および漸近挙動の研究

1・非斉次項を持つ非線形楕円型方程式の研究空間次元が3以上の全領域において、非斉次項を持つ非線形楕円型方程式を研究し、正値解の多重存在について考察した。非斉次項を持つ非線形楕円型方程式の場合、変分構造が斉次の時と比べて大きく変化する。既存の結果では非線形項に凸性もしくは何らかの単調性を課し正値解の多重存在を得ていた。特に非線形項の凸性を用いると解の非退化性が分り、それを用いて方程式を書き換えることで、高度なエネルギー評価を必要とせずに解の存在が得られる。本研究ではエネルギー汎関数の形状に注目し、一般の非線形項に対して解の多重存在を得た。非線形項の凸性、単調性を外すことにより、生物モデルに現れるFitzHugh-Nagumo型の非線形項にも適用できることが特色となっている。当研究論文は現在投稿中である。また、国内外で口頭発表を行ったところ、様々な研究者から好感触を得た。2・四階非線形楕円型方程式の研究空間次元5以上の全領域において、デルタ関数を外力項に持つ四階非線形楕円型方程式を研究し、正値解の存在及び減衰評価などを考察した。本研究は微分幾何学に現れるPaneitz-Branson operatorと深い関連があり、今後更なる発展が望まれる内容である。四階楕円型方程式の場合、最大値原理が一般に崩れるため、解の正値性や減衰評価を得ることは容易でない。本研究では基本解の評価をうまく用いることでこの困難さを克服した。本研究は東北大学の佐藤得志氏との共同研究であり、近日中の論文投稿を目指している。

1・非斉次項を持つ非線形楕円型方程式の研究空間次元が3以上の全領域において、非斉次項を持つ非線形楕円型方程式を研究し、正値解の多重存在について考察した。非斉次項を持つ非線形楕円型方程式の場合、変分構造が斉次の時と比べて大きく変化する。既存の結果では非線形項に凸性もしくは何らかの単調性を課し正値解の多重存在を得ていた。特に非線形項の凸性を用いると解の非退化性が分り、それを用いて方程式を書き換えることで、高度なエネルギー評価を必要とせずに解の存在が得られる。本研究ではエネルギー汎関数の形状に注目し、一般の非線形項に対して解の多重存在を得た。非線形項の凸性、単調性を外すことにより、生物モデルに現れるFitzHugh-Nagumo型の非線形項にも適用できることが特色となっている。当研究論文は現在投稿中である。また、国内外で口頭発表を行ったところ、様々な研究者から好感触を得た。2・四階非線形楕円型方程式の研究空間次元5以上の全領域において、デルタ関数を外力項に持つ四階非線形楕円型方程式を研究し、正値解の存在及び減衰評価などを考察した。本研究は微分幾何学に現れるPaneitz-Branson operatorと深い関連があり、今後更なる発展が望まれる内容である。四階楕円型方程式の場合、最大値原理が一般に崩れるため、解の正値性や減衰評価を得ることは容易でない。本研究では基本解の評価をうまく用いることでこの困難さを克服した。本研究は東北大学の佐藤得志氏との共同研究であり、近日中の論文投稿を目指している。