変分法を用いた非線形楕円型方程式の解の形状および漸近挙動の研究

用变分法研究非线性椭圆方程解的形状和渐近行为

• 批准号: 07J00685
• 负责人: 渡辺 達也
• 金额: $ 2.11万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2009
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07J00685/
• 关键词: 非線形楕円型方程式; 変分法; 非斉次方程式; 四階楕円型方程式; ボルテクス; 漸近的に線形な非線形項

1・非斉次項を持つ非線形楕円型方程式の研究空間次元が3以上の全領域において、非斉次項を持つ非線形楕円型方程式を研究し、正値解の多重存在について考察した。非斉次項を持つ非線形楕円型方程式の場合、変分構造が斉次の時と比べて大きく変化する。既存の結果では非線形項に凸性もしくは何らかの単調性を課し正値解の多重存在を得ていた。特に非線形項の凸性を用いると解の非退化性が分り、それを用いて方程式を書き換えることで、高度なエネルギー評価を必要とせずに解の存在が得られる。本研究ではエネルギー汎関数の形状に注目し、一般の非線形項に対して解の多重存在を得た。非線形項の凸性、単調性を外すことにより、生物モデルに現れるFitzHugh-Nagumo型の非線形項にも適用できることが特色となっている。当研究論文は現在投稿中である。また、国内外で口頭発表を行ったところ、様々な研究者から好感触を得た。2・四階非線形楕円型方程式の研究空間次元5以上の全領域において、デルタ関数を外力項に持つ四階非線形楕円型方程式を研究し、正値解の存在及び減衰評価などを考察した。本研究は微分幾何学に現れるPaneitz-Branson operatorと深い関連があり、今後更なる発展が望まれる内容である。四階楕円型方程式の場合、最大値原理が一般に崩れるため、解の正値性や減衰評価を得ることは容易でない。本研究では基本解の評価をうまく用いることでこの困難さを克服した。本研究は東北大学の佐藤得志氏との共同研究であり、近日中の論文投稿を目指している。

1. Non-linear equation research with non-linear sub-term more than 3 spatial dimensions, non-linear equation research with non-linear sub-term, positive solution and multiple existence research. The non-linear equation is constructed in such a way that the time ratio of the non-linear equation is greater than the time ratio of the non-linear equation. The result of existence is non-linear, convex and non-linear. In particular, the convexity of the non-linear term is used, and the non-degeneracy of the solution is separated, and the equation is used. In this study, we focus on the shape of the general nonlinear term and the multiple existence of the general nonlinear term. Non-linear term convexity, uniformity, external, biological, etc. FitzHugh-Nagumo type non-linear term is applicable. When research papers are submitted, they are now submitted. The researchers were very impressed by the results of oral communication at home and abroad. 2. Study of fourth-order nonlinear equations in space dimension 5 and above, study of the existence of positive solutions and evaluation of attenuation in all fields, and study of external force terms. This paper presents the Paneitz-Branson operator in differential geometry and its further development. For fourth-order equations, the maximum value principle is generally broken, the solution is positive, and the attenuation evaluation is easy to obtain. This research will discuss the basic solution and overcome the difficulties with it. This research is a joint research project of Tohoku University.

项目成果

Radial solutions with a vortex to an asymptotically linear elliptic equation

渐近线性椭圆方程的涡旋径向解

• 发表时间: 2008
• 作者: Hiramatsu N;Todo T;Ito T;Massaki K;Kasahara A;Amano H;Reading BJ;Matsubara T;Sawaguchi S;Sullivan CV;Hara A;澤口小有美・大久保信幸・市川卓・村上直人・松原孝博;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;渡邊美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡邉美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡辺 美香;Noriko Ohtake;Kenichi Niikura;Noriko Ohtake;Noriko Ohtake;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;大竹範子;Yinglu H.;Noriko Ohtake;Nagahama Y.;大竹範子;Ardyant TD.;Noriko Ohtake;Huang X.;大竹範子;Yumi Nagahama;Noriko Ohtake;Yumi Nagahama;永川 桂大;Yumi Nagahama;石塚 範子;石塚 範子;Nagahama Yumi;望戸 愛果;望戸 愛果;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也
• 通讯作者: 渡辺達也

Two positive solutions for an inhomogeneous scalar field equation

非齐次标量场方程的两个正解

• 发表时间: 2008
• 作者: Hiramatsu N;Todo T;Ito T;Massaki K;Kasahara A;Amano H;Reading BJ;Matsubara T;Sawaguchi S;Sullivan CV;Hara A;澤口小有美・大久保信幸・市川卓・村上直人・松原孝博;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;渡邊美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡邉美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡辺 美香;Noriko Ohtake;Kenichi Niikura;Noriko Ohtake;Noriko Ohtake;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;大竹範子;Yinglu H.;Noriko Ohtake;Nagahama Y.;大竹範子;Ardyant TD.;Noriko Ohtake;Huang X.;大竹範子;Yumi Nagahama;Noriko Ohtake;Yumi Nagahama;永川 桂大;Yumi Nagahama;石塚 範子;石塚 範子;Nagahama Yumi;望戸 愛果;望戸 愛果;渡辺達也;渡辺達也
• 通讯作者: 渡辺達也

Singular positive solutions for a fourth order elliptic problem in R^N

R^N 中四阶椭圆问题的奇异正解

• 发表时间: 2009
• 作者: Hiramatsu N;Todo T;Ito T;Massaki K;Kasahara A;Amano H;Reading BJ;Matsubara T;Sawaguchi S;Sullivan CV;Hara A;澤口小有美・大久保信幸・市川卓・村上直人・松原孝博;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;渡邊美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡邉美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡辺 美香;Noriko Ohtake;Kenichi Niikura;Noriko Ohtake;Noriko Ohtake;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;大竹範子;Yinglu H.;Noriko Ohtake;Nagahama Y.;大竹範子;Ardyant TD.;Noriko Ohtake;Huang X.;大竹範子;Yumi Nagahama;Noriko Ohtake;Yumi Nagahama;永川 桂大;Yumi Nagahama;石塚 範子;石塚 範子;Nagahama Yumi;望戸 愛果;望戸 愛果;渡辺達也
• 通讯作者: 渡辺達也

Radial solutions with a vortex to an asymptotically linear elliptic eauation

带有涡旋的径向解到渐近线性椭圆方程

• 发表时间: 2007
• 作者: Hiramatsu N;Todo T;Ito T;Massaki K;Kasahara A;Amano H;Reading BJ;Matsubara T;Sawaguchi S;Sullivan CV;Hara A;澤口小有美・大久保信幸・市川卓・村上直人・松原孝博;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;渡邊美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡邉美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡辺 美香;Noriko Ohtake;Kenichi Niikura;Noriko Ohtake;Noriko Ohtake;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;大竹範子;Yinglu H.;Noriko Ohtake;Nagahama Y.;大竹範子;Ardyant TD.;Noriko Ohtake;Huang X.;大竹範子;Yumi Nagahama;Noriko Ohtake;Yumi Nagahama;永川 桂大;Yumi Nagahama;石塚 範子;石塚 範子;Nagahama Yumi;望戸 愛果;望戸 愛果;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也
• 通讯作者: 渡辺達也