Development of Theory of Integrable Systems Describing Geometric Shapes

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弾性曲線,対数型美的曲線による曲線の最適近似理論に取り組み，3Dスキャナで取り込まれた3次元点群データを平面に射影し，スムージング後に等間隔の平面点群データ(平面離散曲線)に変換し，得られた等辺離散曲線を可積分離散弾性曲線や対数型美的曲線でパラメトリックに近似する理論を構築し，実装した.これらの成果は工業意匠設計におけるリバースエンジニアリングに重要である.相似幾何における空間曲線がゲージ変換によりユークリッド幾何の曲率一定曲線に対応すること，その可積分変形がmKdV階層とその線形問題との結合系で記述されることを示し，さらに，その線形問題はmKdV階層の対称性に付随する線形化方程式に他ならないこと示した．より一般に，曲線の変形方程式は枠の変形方程式の線形化方程式と見なせるという驚くべき事実が判明し，昨年度示した枠の積分可能性は，この対称性から従うことを示した．さらに，空間曲線の可積分変形が作る曲線族が張る曲面を考察し，「美的曲面」として，2次曲面やその変形が得られることを示した．また，ユークリッド幾何における平面(離散)曲線と捩率一定の空間(離散)曲線に対する連続・離散等周変形に対する明示公式から，特に離散閉曲線で平行移動，剛体回転がない特別の場合に制約することで，カライドサイクルと呼ばれる1自由度でエネルギーを消費せずに動く閉リンク機構の楕円テータ関数による明示公式を構成した．さらに，Michelleトラスと呼ばれる，建築学においてある種の力学的合理性を持つ古典的なトラス構造の中で，格子が離散複素正則函数としての可積分指数函数で，辺材のなす離散曲線が離散対数型美的曲線であるような，力学的合理性，可積分性，美的性を兼ね備えた構造物を構築した．