圧縮性流体方程式におけるパターンダイナミクスの数理構造の解明

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本研究課題は，流体力学の基礎方程式である圧縮性Navier-Stokes方程式を始めとする準線形双曲-放物型方程式系におけるパターンダイミクスの数理構造の解明とその解析手法の確立を目的としている. 圧縮性Navier-Stokes方程式のような散逸構造を持つ双曲-放物型連立方程式系に対しては方程式の持つ双曲型の側面により，放物型方程式に対して確立された解析手法が有効でないため，手法の開発と数理構造の解明が望まれている．本研究では，それらの理論の準線形双曲放物型方程式系への拡張を行う．本年度は，異方的性質を示す圧縮性流体，liquid crystalについての研究を進めた．Ericksen-Leslie systemは流体の方程式に加えて，流速と棒状分子の配向方向との非線形相互作用の影響を考慮した方程式系である．その中で，等温条件下での解析は多く行われているものの，圧縮性かつ温度を変数として方程式に組み込んでいるものは少ない．昨年度取り組んだ，ある種の簡易化を施されたEricksen-Leslie systemの無限層状領域上での解の存在と減衰評価に加えて，本年度は漸近挙動と温度に関するNeumann境界条件下での考察を行った．反応拡散方程式系の場合は，方程式に含まれるパラメータの値によっては分岐パターンが空間周期的進行波になることが知られており，例えば水平方向をx軸にとったとき，無限遠方で異なる周期を持つ2つの周期パターンをつなぐ解が存在することが分かっている．今回の結果は，このような放物型方程式系に対して確立された空間周期的進行波の変調ダイナミクスの解析を，圧縮性Navier-Stokes方程式へと拡張する手掛かりになると考えている．