Study for pattern formations and dynamics arising in reaction-diffusion systems with conservation law

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細胞の特徴的な性質の一つとして，細胞膜(membrane)が外部の物質を取り入れるときにひだ状に突起(ruffle)が生成され，膜上を動くことが知られている．この突起はアクチンが局在化することで生成される．この突起の生成とその運動メカニズムを説明するために提案された数理モデルの一つとして，Yochelis-Beta-Giv(2020)による反応拡散系がある．この方程式系の特徴として，重合した繊維状のアクチン(Polymerized actin filaments)を表す変数と単量体アクチン（actin monomers)を表す変数の和の積分量が保存され，重合アクチン生成を抑制するもう一つの変数を導入した3変数のモデル方程式系になっている．この積分量を調整することによって，パルス状の局在パターンの生成，パルス同士の衝突による消滅や反発運動が数値計算によって報告されている．今回の研究では，定数解が拡散によって不安定化（チューリングタイプの不安定化）する条件を線形化安定性解析によって導き，また，空間的に局在化する定在パルス解の存在を示した．これらの成果は研究代表者の森田と分担者の田中の共著としてまとめ投稿中である．一方，分担者の村川は，保存則をもつ細胞接着のモデル方程式系の研究を行い，数値計算のための離散化スキームの収束性についての数学的な結果を得ている．また，森田は，多数の枝状構造を持つ領域をグラフ形状に単純化した領域において，反応拡散方程式の解の漸近挙動を研究した．この研究は，今後保存則を持つモデル方程式系へと発展させる基盤となることが期待できる．