Mathematical analysis of pattern dynamics of reaction-diffusion systems and their singular limit problems

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非線形放物型偏微分方程式の解のダイナミクスを決定することは，非線形放物型偏微分方程式の理論的研究における重要な問題のひとつである．しかし，比較的簡単と考えられる反応拡散系でさえ，解のダイナミクスを決定できていないのが現状である．本研究課題では，反応拡散系の解のダイナミクスを決定するための解析手法の開発と普遍的な数理構造の抽出を行うことを目的としている．反応拡散系の解の普遍的数理構造を抽出するにあたっては，未知変数の数，反応項（非線形項），空間の次元，領域が主要なパラメータとなる．解のダイナミクスを決定するアトラクターを調べることは，その要素である全域解の特徴付けることに対応しているので，前述の主要なパラメータを変えることで，次の３つのテーマを扱う．（１）単独反応拡散系の全域解の特徴付け（２）特異極限系の適切性・収束性・全域解の特徴付け（３）複雑領域におけるパターンダイナミクスの数理解析（１）では，多次元双安定単独反応拡散系の全域解の解析を行った．放物型方程式の場合，時間が負の方向では，一般に適切な問題ではないので，全域解は特殊な解であるが，アトラクターの要素であるため，普遍的な時間大域的な挙動をもつ重要な解である．Allen-Cahn-Nagumo型の反応拡散方程式の新しいタイプの全域解を構成に成功した．これは，遠方から安定な状態が伝播してくる解であるが，その波面の形状は，無数にあり得ることを示した．一方，不安定平衡解から発生する全域解は，3種類に分類されることを示した．（２）では，反応拡散系の特異極限系である反応界面系の解の挙動に関する研究を行い，1次元の場合に，その挙動を分類することに成功した．（３）では，血管新生のモデルについての予備的な研究を行った．また，明治非線型数理セミナーやRIMS共同研究（公開型）などを開催し，情報収集とともに研究成果の公表した．