Hecke-Mahler級数の値の代数的独立性の研究

赫克-马勒级数值的代数独立性研究

基本信息

批准号：
20J10505
负责人：
田沼優佑
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J10505/
关键词：
超越数代数的独立 Mahler関数 Hecke-Mahler級数

项目摘要

今年度は、Hecke-Mahler級数の新たな一般化について検討した。Hecke-Mahler級数は実数ωの正整数k倍の整数部分[kω]を一般項として持つ数列の母関数である。ωが実2次無理数の場合、Hecke-Mahler級数の2変数化はある種の変数変換の下で関数方程式を満たす。この関数方程式はωの連分数展開から導かれ、Mahler法において重要な役割を果たす。連分数については高次元化やp進類似が盛んに研究されているにもかかわらず、Hecke-Mahler級数の高次元化やp進類似は今のところ構成されていない。そこで、Hecke-Mahler級数の【1】高次元化、【2】p進類似の構成について検討した。【1】2変数化したHecke-Mahler級数は、xy平面内の、x軸と傾きωの直線によって挟まれる錐の内部を走る和であることに着目し、より高次元の空間内のある錐を走る和としてHecke-Mahler級数の高次元化を構成することを考えた。しかし、Jacobi-Perronのアルゴリズムをはじめ高次元の連分数展開には様々な定式化が試みられているが、通常の連分数展開が有する性質をすべて持つような標準的なものが存在しないことから、Hecke-Mahler級数の自然な高次元化の構成は困難であることが判明した。【2】上述した関数方程式は、2変数化したHecke-Mahler級数が有理関数の交代級数としての表示をもち、変数変換による交代級数表示の間の差分が有理関数の有限和になることから生じる。そこで逆に、変数変換による差分が有限な和になるような（交代）級数として定義することで、Hecke-Mahler級数のp進類似を構成することを考えた。当初は、ある3変数の級数として構成することを想定していたが、この構成では差分が複雑になりすぎてしまい、Mahler法が適用できないことが明らかになった。

今年，我们讨论了Hecke-Mahler系列的新概括。 Hecke-Mahler系列是序列的功能函数，该序列具有整数[kΩ]，这是一个正整数k乘以实际数字ω，作为一般项。如果ω是一个实际的二次非理性数，则Hecke-Mahler系列的双变量在某些可变变换下满足功能方程。该功能方程来自ω的连续分数扩展，并在Mahler方法中起重要作用。尽管正在广泛研究尺寸增加和P-自适应相似性，但目前尚未构建Hecke-Mahler系列的较高维度和P-自适应相似性。因此，我们研究了[1]较高维度的构建，[2] p的前进类似于Hecke-Mahler系列。 [1]关注以下事实：两变量的Hecke-Mahler系列是在XY平面中由X轴夹住的圆锥体和倾斜ω的直线内部的总和，我们考虑了如何使Hecke-Mahler系列的尺寸更高，以通过在较高维度的锥体中运行的总和。然而，已经尝试了各种表述来扩展高维连续分数，包括雅各比 - 佩隆算法，但是没有标准具有普通连续分数的所有特性，并且发现很难构建Hecke-Mahler系列的自然高维度。 [2]上述功能方程是源于以下事实：两变量的Hecke-Mahler系列具有一系列交替的合理函数，并且通过可变变换通过变化的交替序列表示之间的差异成为理性函数的有限总和。相反，我们考虑了如何通过将其定义为（交替的）序列来定义Hecke-Mahler序列的P-采用，在这种序列中，由于可变变换引起的差异成为有限总和。最初，假定该结构将被构造为一系列三个变量，但是这种结构使差异过于复杂，并且很明显无法应用Mahler方法。