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Hecke-Mahler級数の値の代数的独立性の研究

赫克-马勒级数值的代数独立性研究

基本信息

批准号：
20J10505
负责人：
田沼優佑
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J10505/
关键词：
超越数代数的独立 Mahler関数 Hecke-Mahler級数

项目摘要

今年度は、Hecke-Mahler級数の新たな一般化について検討した。Hecke-Mahler級数は実数ωの正整数k倍の整数部分[kω]を一般項として持つ数列の母関数である。ωが実2次無理数の場合、Hecke-Mahler級数の2変数化はある種の変数変換の下で関数方程式を満たす。この関数方程式はωの連分数展開から導かれ、Mahler法において重要な役割を果たす。連分数については高次元化やp進類似が盛んに研究されているにもかかわらず、Hecke-Mahler級数の高次元化やp進類似は今のところ構成されていない。そこで、Hecke-Mahler級数の【1】高次元化、【2】p進類似の構成について検討した。【1】2変数化したHecke-Mahler級数は、xy平面内の、x軸と傾きωの直線によって挟まれる錐の内部を走る和であることに着目し、より高次元の空間内のある錐を走る和としてHecke-Mahler級数の高次元化を構成することを考えた。しかし、Jacobi-Perronのアルゴリズムをはじめ高次元の連分数展開には様々な定式化が試みられているが、通常の連分数展開が有する性質をすべて持つような標準的なものが存在しないことから、Hecke-Mahler級数の自然な高次元化の構成は困難であることが判明した。【2】上述した関数方程式は、2変数化したHecke-Mahler級数が有理関数の交代級数としての表示をもち、変数変換による交代級数表示の間の差分が有理関数の有限和になることから生じる。そこで逆に、変数変換による差分が有限な和になるような（交代）級数として定義することで、Hecke-Mahler級数のp進類似を構成することを考えた。当初は、ある3変数の級数として構成することを想定していたが、この構成では差分が複雑になりすぎてしまい、Mahler法が適用できないことが明らかになった。

This year, Hecke-Mahler series and new generalizations are discussed. Hecke-Mahler series is a general term for the integer part [kω] of a positive integer k multiple of ω. When ω is a quadratic irrational number, the Hecke-Mahler series is quantized to the next order. This correlation equation is derived from the continued fraction expansion of ω and is an important result of Mahler's method. The continuous fraction is composed of high dimensionalization and high dimensionalization. Hecke-Mahler series [1] high-dimensional,[2] p-progressive similar composition [1] 2. Digitalization of Hecke-Mahler series in xy plane, x axis, tilt ω, straight line, inside cone, inside, inside cone, The existence of a standard Jacobi-Perron series and the difficulty of constructing a Hecke-Mahler series in terms of higher dimensional continuous fraction expansions. [2] The above equation of rational relations is quantized by Hecke-Mahler series, and the difference between rational relations and accounting series is expressed by finite sum of rational relations. A study of the finite sum of the difference between the inverse and the inverse Hecke-Mahler series. The number of times the original number is determined, the number of times the difference is determined, and the Mahler method is applied.