モチーフの有限次元性、Conservativity、そしてその周辺

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コラッツ予想は、自然数に対して、奇数なら3倍して１を足し、偶数なら２で割る、という操作を繰り返すと、いつかは必ず１、２、１、２というサイクルに収束する、という予想である。整数や奇数分母の有理数に対する一般化も知られていて、その場合は何らかのサイクルに収束し、無限に発散することはない、という予想(サイクル予想）となる。一方、3倍するかわりに5倍、7倍などにするとほとんどの自然数に対して無限に発散する、という強い証拠がある。本研究では、通常の整数から一般化して、２進整数 p に対して同様の現象が見出されるかどうか、またLagariasのQ関数をモチビックゼータの一種と見て、どのような現象が見出されるかについて新しい成果を得た。まず、サイクル予想が成り立つためには、p が代数的数でなくてはならないことが示された。さらにごく最近、p は代数的整数であることが必要であることが証明された。また、Q関数の値について、コラッツ予想を仮定すると、Q関数の真分数は１／３または２／３になるが、そのどちらが多くなるかを調べると、不思議な周期性があらわれる現象を発見した。また、グラフのモチビックゼータの有理性について、グラフの辺に赤、青あるいは緑に彩色して、ハッケンブッシュゲームとみなすことによって、赤と青なら任意の実数 a を次数とする(1+t)^aをモチビックゼータとするグラフを構成できることを発見した。有理性、代数性のみならず、より一般的な現象を発見したことになる。また、緑の辺を持つグラフに対しては、標数２のモチビックゼータを考えることが自然であると思われる。赤青と緑を混ぜた場合は、組み合わせゲーム理論的にも未解決な問題が発生しているはずである。また、赤青のみ、あるいは緑のみの場合も無限を元として含む体があらわれ、今後に面白い研究課題を提供している。