交叉理論の視点による代数多様体の特異点の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

非可換代数幾何の計算を行うためのプログラムを開発した。有限表示を持つ加群のグレブナー基底を計算し、さらにresolutionを求めることができるようになっている。Macaulay2やSingularの試作バージョンなど、これまでも非可換のグレブナー基底を計算できるプログラムはあったが、Macaulay2では非可換環としてワイル代数に限られるなど、扱える非可換環の種類が極めて限られていた。本研究において開発したプログラムでは、変数を順序づけしておいて、重複を許してその順番の変数の積としてあらわされる単項式が基底になる、という極めて弱い条件のもとでグレブナー基底を計算できる、という特長を持っている。一般の非可換環ではグレブナー基底が存在しないことが証明されており、本プログラムの条件はほぼ限界に近い良いものであると思われる。当初は拡張性を考えてMathematicaでプログラムを作成したが、速度に不満があったため、C++で組み直した。本プログラムを作成した目的は非可換環RのSpectrumを定義する、という問題を解決するためである。、R/Iで既約加群になるもの全体が点集合となる、という予想を立て、いくつか計算を行い、イデアルIとJが既約元による単項生成であるにもかかわらず、その交わりが単項生成にならない、というような興味深い例も発見された。今後さらに具体的な計算によって非可換代数幾何特有の現象を見いだしていく基礎が出来たと思う。並行して数学史にも興味を持ち、ファン・ルーメンの間題における誤りや、ガロアの死の真相についても新しい知見を得た。この成果については、講談社選書メチエ「天才数学者はこう解いた、こう生きた 方程式四千年の歴史」において発表した。