不変体の有理性問題

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kを体、Gをkの絶対Galois群とする。このとき、k係数代数的トーラスTと、Tのcharacter module X(G)をG加群とみなしたMは一対一に対応することが知られている(小野).私は新潟大学の星明考さん，金井和貴さんとの共同研究でkが代数的数体でK/kが15次以下のとき，K/kのノルム1トーラスT=R^(1)_{K/k}(G_m)に対してハッセノルム原理の成否が成り立つ必要十分条件を決定した．これは、n=12の場合はJournal of Number Theoryから、n≦15で12以外の場合はMathematics of Computationから論文が出版された.新潟大学の星明考さんとの共同研究で、k係数代数的トーラスのstably equivalent classの分類を扱った.先行研究により、rank 2以下についてはrationalであることが知られている.rank 3の場合についてはKunyavskiiにより、rationalでなければnot retract rationalであることが知られている.rank 3でnot rationalの一番基本的な場合はC2xC2のNorm 1 torusの場合でKunyavskiiの記号でU1と表されるが、Colliot-TheleneとSansucにより、stably equivalentになるための条件は最小分解体が一致することが条件であることが知られている.stably equivalent classが必要十分条件の形で完全に決定されたのはこのU1の場合だけであったが、本研究ではrank 4までのstably equivalent classを必要十分条件の形で網羅的に決定した.我々の研究はKunyavskiiの結果とColliot-Theleneらの結果の橋渡しをするものである。