Lubin--Tate space and Galois representations

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数論幾何では、数論的な体や環上のスキームを主な研究対象とする。数論的な体としては、有限体、局所体、有理数体があげられる。それらのスキームの重要な普遍量として、エタールコホモロジーがあり、これについて分岐理論的な観点から研究している。エタールコホモロジーはDelign--Lusztig理論に代表されるように有限群との関係も深く様々な意味で興味深い対象である。当該年度はこれに関連することとして、特に以下のような事柄について研究を行った。有限体上の代数曲線の有理点を数え、その合同ゼータ関数を決定する問題は長い歴史を持ち古典的であるが一般解は無く現在も多方面から盛んに研究されている。符号理論への応用もある。一般化された鈴木曲線に関して上の問題を解決した。またその一般化についても研究を行った。鈴木曲線の一般化にあたる超特異代数曲線を用いて、局所体上のガロワ表現を構成し、その性質を調べた。これらの超特異代数曲線を用いて、ある種の代数多様体を構成した。その代数多様体の自己同型群は大きく、ユニタリー群や直交群を含む。それらの群のコホモロジーへの作用を調べ、指標を明示的に決定する研究を行った。この代数多様体に対して半単純予想を証明した。半単純予想が知られている多様体はそれほど多くないので、興味深い結果と考えている。以上の研究については論文作成が終わったものもそうでないものもあるため引き続き論文作成を行っていく予定である。