New develpment of spectral and inverse scattering theory-Non linear problems and continuum limit

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半空間における弾性波動方程式の定常問題の解の漸近展開を完成した。境界表面のみを這うレーリー波を半空間全体を伝わる実体波と同じ位相によって観測することが中心課題であり、この問題はレーリー波に関する長い間の懸案であった。また半空間の特性として解はある曲面上に特異性をもち、その解析も困難であったが、精密なレゾルベント評価と定常位相の方法を用いた漸近解析により解決した。結果は専門誌に投稿中である。局所的に摂動された周期的格子の上のラプラシアンに関してメッシュサイズを0に近づける極限から連続系に対するシュレーディンガー方程式を導く連続体極限の問題を解決した。結果は学術雑誌に出版された。有限グラフ上のラプラシアンに対してそのスペクトルデータからグラフの構造を決定するゲルファントの問題を解決した。これは離散グラフの研究における如実な結果であり、学術雑誌に掲載の予定である。関連してグラフ上のランダムウオークに関する逆問題を解決し、これも専門誌に掲載予定である。多様体上の非線形波動方程式に関して基盤部分で大きな進展があった。特にペンローズのダイアグラムを用いてミンコフスキー空間をローレンツ多様体にうめこみ波動方程式を考える問題において大きな進展があった。この多様体上のダランベルシャンの本質的自己共役性を示しさらにレゾルベントに対する極限吸収原理を証明して固有関数展開等のスペクトル理論を発展させることができたのは大きな成果である。また非線形波動に関して逆散乱問題の研究を進め逆散乱理論の大枠を定めることにも目途がついた。これらの結果を学術雑誌に発表するための準備を行っている。漸近的なスラブ領域における波動方程式のS行列からスラブ領域を同定する逆問題の研究をスタートさせ、近年中の完成を目指している。