流体方程式における特異摂動と安定性の数学解析

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昨年度に引き続き、Navier-Stokes方程式の粘性消滅極限問題および境界層に関連した数学的研究を行った。流体と固体壁との相対速度が零となる粘着境界条件が満たされる場合には、境界付近において高いReynolds数を反映したPrandtl境界層が典型的に現れ、境界層に潜在する強い微分損失構造により、境界層近傍において解の定量的評価を確立することが難しくなる。境界層構造を記述するPrandtl方程式の改良版としてTriple deckモデルが知られている。このモデルの線形化問題の時間局所可解性について研究を行い、凸shear型の境界層の周りにおいては、Gevreyの3/2クラスでの可解性が成り立つことを証明できた。証明においては、非局所的な境界条件に起因する方程式と領域内部での方程式がweakly coupleの形に分解できることに着目するとともに、これまでの境界層解析で用いた重み付きエネルギー法とiterationを組み合わせる論法を確立することが鍵となっている。また、Gevreyの3/2クラスはNavier-Stokes方程式の粘性消滅極限における境界層の不安定性の観点から最適な結果であることが示唆される。この成果は国際共著論文として査読付き国際誌に投稿中である。このほか、2次元全空間Navier-Stokes方程式の定常問題の可解性や異常拡散を記述する勾配流の漸近挙動の解析についても研究成果があった。勾配流の解析手法は汎用性が高く、Navier-Stokes方程式の解の時間減衰に関する研究にも示唆を与えると思われる。研究成果は共著論文として，査読付国際誌への投稿を準備している。