Traveling fronts whose cross sections are convex shapes with major axes and minor axes in balanced bistable reaction-diffusion equations

点击翻译按钮获取中文摘要

等エネルギー型の反応拡散方程式における進行波の存在は，軸対称なものが Chen, Guo, Hamel, Ninomiya and Roquejoffre (ANIHP2007)において証明された。この軸対称進行波は正の速度をもつ。平衡解，すなわち，速度ゼロの進行波の存在は，del Pino, Kowalczyk and Wei (AM 2011, CPAM 2013)により証明されている。速度がゼロではなく軸非対称な形状をもつ進行波が存在するか否かはながく未解決問題とされていた。この問題に対する肯定的な解答が2019年になされた。等エネルギー型の反応拡散方程式における軸非対称な進行波の存在が，"Axially asymmetric traveling fronts in balanced bistable reaction-diffusion equations"(Taniguchi, ANIHPC 2019)において証明された。この進行波は，その等高面（zero level set)のある高さにおける切断面が長軸と短軸をもつ凸図形をなしている。長軸と短軸の比，すなわちアスペクト比は任意に選択することができる。それが1である場合が軸対称進行波である。一方，長軸と短軸を任意の正の値として与えた場合，切断面がこの長軸と短軸をもつ凸図形であるような進行波が存在するか否かという問題が新たに提起された。そのような進行波が存在することの証明を2023年に成功し，成果を学術雑誌に投稿したことを報告する。等エネルギー型反応拡散方程式は，微分幾何学における平均曲率流と密接に関連している。等エネルギー型反応拡散方程式において得られた多次元進行波が，平均曲率流における進行波(Wang, AM 2011)との関連を調べるという課題が新たに未解決問題として提示された。