Geometry of optimal transport theory and gradient flows

研究代表者の太田はGromov双曲空間上の凸関数の勾配流の研究を行い、勾配流の収縮性と確率測度の重心の振る舞いについて成果を得た。Gromov双曲空間は巨視的な（粗い）意味で断面曲率が負の距離空間であり、幾何学的群論や力学系でよく研究されている。Gromov双曲空間はリーマン多様体ではないフィンスラー多様体を含むが、凸関数の勾配流の挙動がよくわかる樹木に近いことを利用して勾配流を調べ、定量的な収縮性の評価を与えることに成功した。更に、確率測度の重心についても、CAT(0)空間（曲率が0以下の距離空間）との比較によりWasserstein距離に関する収縮性を明らかにした。この他、距離関数が対称ではない距離空間上の凸関数の勾配流についての共同研究も行なった。研究分担者の横田はボレル確率測度を持つ完備可分距離空間である測度距離空間及び測度距離空間の同型類からなるピラミッドと呼ばれる集合の幾何学に関する研究を行った。特に、数川大輔氏（九州大学）との共同研究でピラミッドのプレコンパクト部分集合に関する研究を行った。また、2つのピラミッドの積を定義し、収束するピラミッドの列の積の収束に関する研究を行なった。研究分担者の高津は最適輸送距離の緩和問題に引き続き取り組み、勾配流を用いて解くことができない有限集合上の最適輸送問題を、凸関数で緩和して勾配流の手法を適用する共同研究を行なった。特に凸関数としてBregman divegenceに着目し、緩和された最適輸送問題の性質を調べた。また、最適輸送問題の亜種であるsliced Wasserstein距離についても共同研究で考察を深めた。

研究代表者の太田はGromov双曲空間上の凸関数の勾配流の研究を行い、勾配流の収縮性と確率測度の重心の振る舞いについて成果を得た。Gromov双曲空間は巨視的な（粗い）意味で断面曲率が負の距離空間であり、幾何学的群論や力学系でよく研究されている。Gromov双曲空間はリーマン多様体ではないフィンスラー多様体を含むが、凸関数の勾配流の挙動がよくわかる樹木に近いことを利用して勾配流を調べ、定量的な収縮性の評価を与えることに成功した。更に、確率測度の重心についても、CAT(0)空間（曲率が0以下の距離空間）との比較によりWasserstein距離に関する収縮性を明らかにした。この他、距離関数が対称ではない距離空間上の凸関数の勾配流についての共同研究も行なった。研究分担者の横田はボレル確率測度を持つ完備可分距離空間である測度距離空間及び測度距離空間の同型類からなるピラミッドと呼ばれる集合の幾何学に関する研究を行った。特に、数川大輔氏（九州大学）との共同研究でピラミッドのプレコンパクト部分集合に関する研究を行った。また、2つのピラミッドの積を定義し、収束するピラミッドの列の積の収束に関する研究を行なった。研究分担者の高津は最適輸送距離の緩和問題に引き続き取り組み、勾配流を用いて解くことができない有限集合上の最適輸送問題を、凸関数で緩和して勾配流の手法を適用する共同研究を行なった。特に凸関数としてBregman divegenceに着目し、緩和された最適輸送問題の性質を調べた。また、最適輸送問題の亜種であるsliced Wasserstein距離についても共同研究で考察を深めた。