距離空間の間の写像とソボレフ空間

度量空间和 Sobolev 空间之间的映射

基本信息

批准号：
03J07107
负责人：
太田慎一
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度中は,主に測度距離空間上の解析,特に調和関数の正則性についての研究を行った.ここで調和関数とは,同じ境界条件を持つ関数全体の中でエネルギーが最小である関数のことである.測度距離空間上のエネルギー型式の定義には幾つかの方法があるが,その中で,特にCheegerによって定義されたエネルギー型式について研究した.例えば,バナッハ空間の場合には,滑らかな関数ならばその各点で方向微分の大きさを考えることができるが,このとき,Cheeger型エネルギーはその最大値,つまり,微分の作用素ノルムをとったものになる.これは双線型ではなく,よってディリクレ型式ではないため,通常の解析的・確率論的な議論は適用できない.しかし,バナッハ空間やフィンスラー多様体のような,それ自身双線型でない対象については,双線型でないエネルギー型式を考えることはむしろ自然なことである.さて,今年度の研究によって,次の結果を得た:「測度の二倍条件と(1,2)型弱ポアンカレ不等式を満たす測度距離空間の余接空間の単位球が一様に十分丸いとき,調和関数はヘルダー連続である.」一般には測度距離空間では余接空間は定義できないが,Cheegerの定理により,この定理で考えている状況ではそれを定義することができ,有限次元のバナッハ空間になる.また,バナッハ空間の単位球が'十分丸い'という条件は,簡単な不等式で与えられ,幾何学的には,単位球の曲率が一様に上から押さえられているということを意味する.このとき,特にバナッハ空間はuniformly non-squareになるが,曲率を下からは押さえていないため,狭義凸であるとは限らない.この定理はBiroliとMoscoのディリクレ型式に関する定理の拡張になっている.

在这个财政年度，我们主要对量度距离空间（尤其是谐波功能的规律性）进行了分析。在这里，谐波函数是具有相同边界条件的所有功能中能量最低的函数。有几种方法可以在测量距离空间上定义能量类型，其中我们研究了Cheeger定义的能量类型。例如，在Banach空间的情况下，如果它是一个平滑的函数，则可以在每个点考虑定向衍生物的大小，但是在这种情况下，Cheeger型能量具有最大值，即差异的运算符标准。这不是双线性类型，因此不是Dirichlet类型，因此不能应用正常的分析和概率参数。但是，Banach空间和Finsler歧管很好，想想非双线性物体的非双线性能量类型是很自然的。现在，今年的研究产生了以下结果：“当量度距离空间的共同空间的单位球形满足量度双重状态，而弱的庞加利不平等范围均匀圆形时，谐波功能就是Helder的连续。”通常，不能在量度距离空间中定义共同空间，但是通过Cheeger的定理，可以在该定理中考虑的情况下定义它，并成为有限维的Banach空间。此外，Banach空间中的单位球体“足够圆形”的条件是由简单的不等式给出的，并且几乎是在几何上，单位球的曲率从上方均匀地固定在上面。在这种情况下，尤其是Banach空间均匀地变成了一个非方面，但是由于曲率不是从下方保持的，因此不一定是狭窄的凸度。该定理是关于Biroli和Mosco的Dirichlet模型的定理的扩展。