可縮アフィン多様体及びそのコンパクト化に関する研究

当該年度は可縮アフィン多様体のコンパクト化や, より広くアフィンホモロジー3-胞体のコンパクト化の分類問題に取り組んだ. 古島氏によってPicard数が1である有理的コンパクト化を持つアフィンホモロジー3-胞体は3次元アフィン空間であることが知られている. しかし, 岸本氏や私によって, Picard数が2である場合は, 古島氏の特徴づけが成り立たないことが分かっている. 以上を背景として, 3年前に私は, コンパクト化が3次元射影空間の曲線に沿った爆発であり, かつ対数的標準因子が自明の場合に, 3次元可縮アフイン多様体のコンパクト化を分類した. 当該年度は, この時の証明を精査することで, ホモロジー3-胞体の場合も同様の結果が得られることを確かめて, 論文としてまとめ, 掲載された. 特に, この場合のホモロジー3-胞体の双正則同型類は丁度2つであることが分かった.また, 3次元可縮アフィン多様体をコンパクト化する際に境界因子としてしばしば現れるDu Val del Pezzo曲面を題材にして, 正標数での病的な現象について研究した. 正標数の場合, Du Val del Pezzo曲面は標数0上では実現不可能な特異点の包含や, 非特異な有効反標準因子の非存在, そして豊富なWeil因子に対する小平消滅定理の不成立が起こりうる. そこで当該年度は, 東京大学の河上氏とともに, これらの性質と対数的リフト不可能性との関係性に着目して研究した. 結果として, Du Val del Pezzo曲面に対して上記の4性質の因果関係を特定し, 各性質を満たすDu Val del Pezzo曲面を分類した. 更に, この分類とYe氏の手法を組み合わせることで, 正標数でのPicard数1のDu Val del Pezzo曲面の分類を完成させた. 以上の結果はarXivに投稿した.

当該年度は可縮アフィン多様体のコンパクト化や, より広くアフィンホモロジー3-胞体のコンパクト化の分類問題に取り組んだ. 古島氏によってPicard数が1である有理的コンパクト化を持つアフィンホモロジー3-胞体は3次元アフィン空間であることが知られている. しかし, 岸本氏や私によって, Picard数が2である場合は, 古島氏の特徴づけが成り立たないことが分かっている. 以上を背景として, 3年前に私は, コンパクト化が3次元射影空間の曲線に沿った爆発であり, かつ対数的標準因子が自明の場合に, 3次元可縮アフイン多様体のコンパクト化を分類した. 当該年度は, この時の証明を精査することで, ホモロジー3-胞体の場合も同様の結果が得られることを確かめて, 論文としてまとめ, 掲載された. 特に, この場合のホモロジー3-胞体の双正則同型類は丁度2つであることが分かった.また, 3次元可縮アフィン多様体をコンパクト化する際に境界因子としてしばしば現れるDu Val del Pezzo曲面を題材にして, 正標数での病的な現象について研究した. 正標数の場合, Du Val del Pezzo曲面は標数0上では実現不可能な特異点の包含や, 非特異な有効反標準因子の非存在, そして豊富なWeil因子に対する小平消滅定理の不成立が起こりうる. そこで当該年度は, 東京大学の河上氏とともに, これらの性質と対数的リフト不可能性との関係性に着目して研究した. 結果として, Du Val del Pezzo曲面に対して上記の4性質の因果関係を特定し, 各性質を満たすDu Val del Pezzo曲面を分類した. 更に, この分類とYe氏の手法を組み合わせることで, 正標数でのPicard数1のDu Val del Pezzo曲面の分類を完成させた. 以上の結果はarXivに投稿した.