摂動系における第一積分および周期軌道の保存

摂動系における周期軌道，第一積分および可換なベクトル場の存続という観点から研究を行い，古典的な可積分判定手法であるポアンカレの定理を一般化するという当初の研究計画を全て達成することができた．また，得られた結果を応用数理学会や力学系理論関連の研究集会で発表し，他の研究者と意見を交わすことで得た新たな知見から本研究をさらに発展させることができた．まず，昨年度に投稿していた，「摂動系における周期軌道・ホモクリニック軌道・第一積分および可換なべクトル場の保存に関する研究」をまとめた論文は，力学系の分野において権威ある雑誌Nonlinearityに掲載された．また，この論文の結果を応用した新たな可積分判定手法も，計画当初には想定していなかった関数的独立性に関する問題を克服した上で，得ることができた．さらに，本研究において新しく定義した『可積分性を特徴付ける関数』が，周期摂動を受ける一自由度系に対してはメルニコフ関数と一致することを示した．これにより，メルニコフ関数と可積分性の新たな関係を明らかにした．加えて，作用角変数表示されている近可積分系においては，『可積分性を特徴付ける関数』が恒等的に零であることと，古典的な可積分判定手法であるポアンカレの定理の条件が同値であるという，当初想定していなかった非常に興味深い結果も得られた．また，開発した手法を用いることで，これまで一部のパラメータ値についてのみ知られていたダフィング方程式の非可積分性を，横断的ホモクリニック軌道が存在しないような一般のパラメータ値に対しても証明することができた．以上の結果を論文としてまとめ，国際誌に投稿した．

摂動系における周期軌道，第一積分および可換なベクトル場の存続という観点から研究を行い，古典的な可積分判定手法であるポアンカレの定理を一般化するという当初の研究計画を全て達成することができた．また，得られた結果を応用数理学会や力学系理論関連の研究集会で発表し，他の研究者と意見を交わすことで得た新たな知見から本研究をさらに発展させることができた．まず，昨年度に投稿していた，「摂動系における周期軌道・ホモクリニック軌道・第一積分および可換なべクトル場の保存に関する研究」をまとめた論文は，力学系の分野において権威ある雑誌Nonlinearityに掲載された．また，この論文の結果を応用した新たな可積分判定手法も，計画当初には想定していなかった関数的独立性に関する問題を克服した上で，得ることができた．さらに，本研究において新しく定義した『可積分性を特徴付ける関数』が，周期摂動を受ける一自由度系に対してはメルニコフ関数と一致することを示した．これにより，メルニコフ関数と可積分性の新たな関係を明らかにした．加えて，作用角変数表示されている近可積分系においては，『可積分性を特徴付ける関数』が恒等的に零であることと，古典的な可積分判定手法であるポアンカレの定理の条件が同値であるという，当初想定していなかった非常に興味深い結果も得られた．また，開発した手法を用いることで，これまで一部のパラメータ値についてのみ知られていたダフィング方程式の非可積分性を，横断的ホモクリニック軌道が存在しないような一般のパラメータ値に対しても証明することができた．以上の結果を論文としてまとめ，国際誌に投稿した．