Path integrals - Analysis on path space created by time slicing approximation

環状型（トーラス型）変数係数高階放物型方程式に対応し、一般的な汎関数を振幅としてもつ環状型相空間経路積分の数学的理論を構成した。より正確に言えば、時刻を変数としトーラス上に値をとる位置経路と整数値をとる運動量経路を変数とする汎関数の２つの一般的な集合を定義し、これらの汎関数の集合に属する汎関数を振幅としてもつ相空間経路積分の時間分割近似法が、位置経路の終点と運動量経路の始点に関し広義一様収束することを証明した。すなわち、環状型相空間経路積分が数学的に存在することを示した。さらに、この２つの汎関数の一般的な集合は、基本的な汎関数の例を含み、汎関数の和や積、位置経路や運動量経路に関する平行移動、位置経路や運動量経路の整数正則行列による線形変換、位置経路や運動量経路に関する汎関数微分の演算に関して閉じている。このため、基本的な汎関数の例に、これらの演算を組み合わせることで、相空間経路積分が可能な汎関数の多くの例を創ることができる。さらに、この相空間経路積分において、相空間経路積分と時間に関する積分との順序交換定理、相空間経路積分と極限との順序交換定理、位置経路と運動量経路の置換変換に関する相空間経路積分の不変性、運動量経路の平行移動に関する相空間経路積分の自然な性質、相空間経路積分における位置経路の汎関数微分に関する部分積分が成立することを証明した。これらの研究成果を論文としてまとめ、J. Pseudo-Differ. Oper. Appl. で出版し、インドの国際会議と愛媛大学のセミナーや日本大学の研究集会で講演した。また、これまで私が構成した時間分割近似法による様々な経路積分の理論について、Sugaku Expositions で解説した。

環状型（トーラス型）変数係数高階放物型方程式に対応し、一般的な汎関数を振幅としてもつ環状型相空間経路積分の数学的理論を構成した。より正確に言えば、時刻を変数としトーラス上に値をとる位置経路と整数値をとる運動量経路を変数とする汎関数の２つの一般的な集合を定義し、これらの汎関数の集合に属する汎関数を振幅としてもつ相空間経路積分の時間分割近似法が、位置経路の終点と運動量経路の始点に関し広義一様収束することを証明した。すなわち、環状型相空間経路積分が数学的に存在することを示した。さらに、この２つの汎関数の一般的な集合は、基本的な汎関数の例を含み、汎関数の和や積、位置経路や運動量経路に関する平行移動、位置経路や運動量経路の整数正則行列による線形変換、位置経路や運動量経路に関する汎関数微分の演算に関して閉じている。このため、基本的な汎関数の例に、これらの演算を組み合わせることで、相空間経路積分が可能な汎関数の多くの例を創ることができる。さらに、この相空間経路積分において、相空間経路積分と時間に関する積分との順序交換定理、相空間経路積分と極限との順序交換定理、位置経路と運動量経路の置換変換に関する相空間経路積分の不変性、運動量経路の平行移動に関する相空間経路積分の自然な性質、相空間経路積分における位置経路の汎関数微分に関する部分積分が成立することを証明した。これらの研究成果を論文としてまとめ、J. Pseudo-Differ. Oper. Appl. で出版し、インドの国際会議と愛媛大学のセミナーや日本大学の研究集会で講演した。また、これまで私が構成した時間分割近似法による様々な経路積分の理論について、Sugaku Expositions で解説した。