Fundamental theory of reaction-diffusion equations with variable coefficients---a panorama in Turing's sight

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研究代表者は，Marciniak-Czochra の受体－配体模型の最も単純化されたものについて，変数係数の場合に，多次元領域における跳躍不連続性をもつ定常解の存在と安定性を証明した．一般の有界領域の場合には，張恭慶による可微分でない汎函数に対する峠の補題を適用した．また，領域が球である場合には，特異摂動法を用いて，球対称な解を構成した（赤木剛朗と張聡暉との共著論文として投稿中）．また，常数係数の受体－配体模型について，進行波解の構成を行った（侯玲玲，國府寛司，Marciniak-Czochraとの共著論文）．パターンの時間的変化は界面の運動として現れることが多い．進行波解は，界面の運動の理解において出発点となるものである．さらに，分担者と共同で，GiererとMeinhardtによる活性因子ー抑制因子系の進行波解の存在の証明を試みている．数値解を詳細に検討して適切な第一近似を構成することに焦点を絞って研究を行った．研究分担者は，昨年度行っていた拡散―非拡散系の進行波解の存在に関する解析手法の知見から，適当な変数変換が拡散－非拡散系の爆発解のダイナミクスを解析するために有効なのではないかという予測を得た．そのため，まずは解析に慣れている古典的な反応拡散系を扱い、適当な変数変換の導入を試みた．外力項を含む系について，この外力項を使った適当な変数変換を導入することにより，解のダイナミクスを解析する新たな解析手法が得られることが分かった．ここでの手法を最も単純な２連立の拡散－非拡散系に適用し，無限時間かけて解が無限大へ行く現象の解析に取り組んでいるところである．新たな視点から解析を行ったため，解の時間大域的挙動に予測を立てるために数値実験を行うことにも時間を割いた．