微分方程式と摂動問題

点击翻译按钮获取中文摘要

(A)典型的な特異摂動問題として、巾型非線型項を持つある半線型楕円型偏微分方程式のノイマン問題を考察した。この方程式は発生生物学の形態形成をモデル化した反応拡散方程式系の定常問題を研究する上で本質的な役割を果たす、Niを高木の共同研究では、拡散係数が十分小さいときの解の形状を領域の境界の幾何学的量と関連づけて表現することに成功した。得られた結果は以下のとおり:まず、非線型項がソボレフの埋蔵定理から決まる臨界増大度よりも小さい場合には、(1)解のうちで最もエネルギ-が小さいものは拡散係数が十分小さいときはつねにただひとつの極大値を持ち、従ってそれは最大値であるが、領域の境界上のただ一点で達成される。更に(2)最小エネルギ-解が最大値をとる点における境界の平均曲率は、拡散係数が0に近づくとき、境界の平均曲率の最大値に近づく、また、非線型項が臨界増大度に等しいときについて、(1)が成立することを示した。(B)特異性を持った解の近傍における解の挙動の研究として、藤家は有理函数を初期値とするコ-シ-問題の解の特異性を調べた、フックス型作用素の場合、あり種の二階の作用素については解の特異性が知られていたが、これを高階の作用素に拡張した。また、堀畑は微分幾何学における調和写像に付随した非線型の放物型偏微分方程式系の部分的正則性を調べるために時間の差分化を工夫し、差分解をある汎函数の最小値函数として構成することに成功した。(C)解集合の構造と特異点との関係の研究として、伊藤は解析的なハミルトン系の平衡点の近傍において系が完全積分可能系であることと解析的な正準変換でハミルトン函数をバ-コフ標準型に写すものが存在することとがある条件では同値であることを示した。